Lời giải:

Sử dụng pp biến đổi tương đương:

a) \(\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{2}\geq \frac{(a+b)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a+b)^2\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a^2+2ab+b^2)\)

\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)\geq 4ab\Leftrightarrow 2(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 2(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xẩy ra khi $a=b$
c)

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\) \(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \frac{(a+b+c)^2}{9}\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

b) \(\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4\)

Áp dụng 2 lần BĐT phần a: \(\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2(1)\)

Và: \(\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\Rightarrow \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)

Áp dụng BĐT cosi:

\(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\\ \ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\\ \Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

Hay 1 cách khác :AM-GM

\(\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{a^4}}=\dfrac{4}{a}\)

Tương tự là ta có ngay đpcm

Một cách đơn giản nhất tương đương ( hay còn gọi là SOS)

\(BĐT\Leftrightarrow\sum\dfrac{b+c-2a}{a^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{b-a}{a^2}+\dfrac{c-a}{a^2}\right)\ge0\)

Nhóm lại: \(\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{a-b}{b^2}+\dfrac{b-a}{a^2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(a-b\right)^2.\left(\dfrac{a+b}{a^2b^2}\right)\ge0\)(đúng)

Vậy BĐT được chứng minh.

Dấu = xảy ra khi a=b=c

3.1 

Xét hiệu :

\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)

\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)

Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)

3.2

Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:

\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)

nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )

Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)

Bạn tham khảo cách chứng minh tại đây :

Câu hỏi của Nguyễn Huy Thắng - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Áp dụng : Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)

Nhân vế theo vế ta được :

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=3.3.1=9\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\dfrac{\left(b+c\right)^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{5c^2+\left(a+b\right)}\ge\dfrac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-20a^2+10bc+5b^2+c^2}{9\left(5a^2+\left(b+c\right)^2\right)}+\dfrac{-20b^2+10ac+5c^2+5a^2}{9\left(5b^2+\left(c+a\right)^2\right)}+\dfrac{-20c^2+10ab+5a^2+5b^2}{9\left(5c^2+\left(a+b\right)\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\dfrac{\left(c-a\right)\left(10a+5b+5c\right)-\left(a-b\right)\left(10a+5b+5c\right)}{9\left(5a^2+\left(b+c\right)^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(\dfrac{-\left(a-b\right)\left(10a+5b+5c\right)}{9\left(5a^2+\left(b+c\right)^2\right)}+\dfrac{\left(a-b\right)\left(10b+5a+5c\right)}{9\left(5b^2+\left(a+c\right)^2\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(\left(a-b\right)\left(\dfrac{10b+5a+5c}{9\left(5b^2+\left(a+c\right)^2\right)}-\dfrac{10a+5b+5c}{9\left(5a^2+\left(b+c\right)^2\right)}\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(\left(a-b\right)^2\dfrac{5\left(a^2+b^2-c^2+4ab\right)}{3\left(a^2+2ac+5b^2+c^2\right)\left(5a^2+b^2+2bc+c^2\right)}\right)\ge0\)

Dau "=" khi \(a=b=c\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\(\dfrac{4}{3}-\sum\dfrac{\left(b+c\right)^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le0\Leftrightarrow1-\sum\dfrac{\left(b+c\right)^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le\dfrac{5}{3}\Leftrightarrow\sum\dfrac{5a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le\dfrac{1}{3}\)\(\dfrac{9}{5a^2+\left(b+c\right)^2}=\dfrac{\left(1+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(2a^2+bc\right)}\le\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2}{2a^2+bc}\)

\(\Rightarrow\sum\dfrac{9a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le\sum\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\sum\dfrac{2a^2}{2a^2+bc}=4-\sum\dfrac{bc}{2a^2+bc}\)Cần chứng minh \(\sum\dfrac{bc}{2a^2+bc}\ge1\). Ta có:

\(\sum\dfrac{bc}{2a^2+bc}\ge\dfrac{\left(\sum bc\right)^2}{\sum bc\left(2a^2+bc\right)}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\) hoặc \(a=0;b=c\) và các hoán vị

cậu cần nữa k????