Qua M kẻ MF // AC , cắt AC tại F

Ta có : \(\begin{cases}MF\text{//}DE\\AD=DM\end{cases}\) => DE là đường trung bình tam giác AMF => AE = EF (1)

Lại có : \(\begin{cases}MF\text{//}BE\\BM=MC\end{cases}\) => MF là đường trung bình tam giác BEC => EF = FC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE = EF = FC => đpcm

Từ M kẻ MK//DE ,MK ătắt AC tại K

Xét tg AMK có:

 DE//MK

D là tr.điểm AM

=>E là tr.điểm AK

=>AE=EK=1/2AK

Xét tg BEC có:

BE//MK (do DE//MK)

M là tr.điểm BC (AM là tr.tuyến của tg ABC)

=>K là tr.điểm EC

=>KE=1/2EC

Mà AE=EK (cmt)

=>AE=1/2EC (đpcm)
 

Gọi F là trung điểm của EC.

Trong ∆ CBE, ta có:

M là trung điểm của CB;

F là trung điểm của CE.

Nên MF là đường trung bình của  ∆ CBE

⇒ MF// BE (tính chất đường trung bình của tam giác) hay DE// MF

* Trong  ∆ AMF, ta có: D là trung điểm của AM

DE // MF

Suy ra: AE = EF (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mà EF = FC = EC/2 nên AE = 1/2 EC

Lời giải:

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $AMC$ có $B,D,E$ thẳng hàng:

$\frac{BM}{BC}.\frac{DA}{DM}.\frac{EC}{EA}=1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.1.\frac{EC}{EA}=1$

$\Leftrightarrow EC=2EA$ hay $EA=\frac{1}{2}EC$ (đpcm)

Hình vẽ:

Gọi K là trung điểm của EC

Xét ΔBEC có 

M là trung điểm của BC(gt)

K là trung điểm của EC(Gt)

Do đó: MK là đường trung bình của ΔBEC

Suy ra: MK//BE

hay MK//DE

Xét ΔAMK có 

D là trung điểm của AM(Gt)

DE//MK(cmt)

Do đó: E là trung điểm của AK(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

Suy ra: AE=EK

mà EK=KC

nên AE=EK=KC

\(\Leftrightarrow AE=\dfrac{EK+KC}{2}=\dfrac{EC}{2}\)

Kẻ MN//AC ~> N là trg điểm của AB và MN=1/2 AC
Gọi giao điểm của MN và BI là E
tam giác ABM có trọng tâm E nên EM=2/3 MN
~> EM=1/3 AC
Tam giác ADI=MEI ~> AD=ME ~> AD=1/3AC

chúc bạn học tốt

Từ M kẻ MK//DE ,MKcắt AC tại K

Xét tg AMK có:

 DE//MK

D là tr.điểm AM

=>E là tr.điểm AK

=>AE=EK=1/2AK

Xét tg BEC có:

BE//MK (do DE//MK)

M là tr.điểm BC (AM là tr.tuyến của tg ABC)

=>K là tr.điểm EC

=>KE=1/2EC

Mà AE=EK (cmt)

=>AE=1/2EC (đpcm)

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC, F là trung điểm của EC. Tính AE biết AC = 9cm A. AE = 4,5cm B. AE = 3cm C. AE = 2cm D. AE = 6cm \(\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}.9=3cm\)

Đáp án : B

Xét ΔBEC có

M là trung điểm của BC

F là trung điểm của EC

Do đó: MF là đường trung bình của ΔBEC

Suy ra: MF//DE

Xét ΔAMF có 

D là trung điểm của AM

DE//MF

Do đó: E là trung điểm của AF
Suy ra: AE=EF

mà EF=FC

nên AE=FE=FC

hay \(AE=\dfrac{EC}{2}\)

Từ M kẻ MK//DE ,MKcắt AC tại K

Xét tg AMK có:

 DE//MK

D là tr.điểm AM

=>E là tr.điểm AK

=>AE=EK=1/2AK

Xét tg BEC có:

BE//MK (do DE//MK)

M là tr.điểm BC (AM là tr.tuyến của tg ABC)

=>K là tr.điểm EC

=>KE=1/2EC

Mà AE=EK (cmt)

=>AE=1/2EC (đpcm)

My sollution

Gọi F là trung điểm của EC

Trong \(\Delta\) CBE ta có:

M là trung điểm của cạnh CB

F là trung điểm của cạnh CE

Nên MF là đường trung bình của ∆ CBE

⇒ MF // BE (tính chất đường trung bình của tam giác)

Hay DE // MF

Trong tam giác AMF ta có:

D là trung điểm của AM

DE // MF

Suy ra: AE = EF (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow AE=EF=FC\)

MÀ EF + FC = EC 

\(\Rightarrow AE=2EC\)