Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà đths đi qua

\(\Rightarrow\) Ta luôn có:

\(y_0=\left(m-1\right)x_0+m+3\) với mọi m

\(\Leftrightarrow m\left(x_0+1\right)-x_0-y_0+3=0\) với mọi m

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\-x_0-y_0+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=4\end{matrix}\right.\)

Vậy ĐTHS luôn đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left(-1;4\right)\)

a:

Sửa đề: \(I\left(\dfrac{1}{2};-3\right)\)

Thay \(x=\dfrac{1}{2};y=-3\) vào (d): \(y=\left(1-2m\right)x+m-\dfrac{7}{2}\), ta được:

\(\left(1-2m\right)\cdot\dfrac{1}{2}+m-\dfrac{7}{2}=-3\)

=>\(\dfrac{1}{2}-m+m-\dfrac{7}{2}=-3\)

=>\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2}=-3\)

=>-3=-3(đúng)

vậy: I(1/2;-3) là điểm cố định mà (d): \(y=\left(1-2m\right)x+m-\dfrac{7}{2}\) luôn đi qua

b: \(\left(d\right):y=\left(2m+1\right)x+m-2\)

\(=2mx+x+m-2\)

\(=m\left(2x+1\right)+x-2\)

Điểm mà (d) luôn đi qua có tọa độ là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=0\\y=x-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\y=-\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:
$y=(m+1)x+(m-3)y-m+8, \forall m\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow y=m(x-3y-1)+(x-3y+8), \forall m\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow m(x-3y-1)+(x-4y+8)=0, \forall m\in\mathbb{R}$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-3y-1=0\\ x-4y+8=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=28\\ y=9\end{matrix}\right.\)

Vậy đt luôn đi qua điểm cố định $(28,9)$

Giả sử đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định  \(I\left(x_0;y_0\right)\) \(\Rightarrow\) với mọi m ta luôn có:

\(y_0=\left(m+1\right)x_0-m+2\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0-1\right)+x_0-y_0+2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-1=0\\x_0-y_0+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=1\\y_0=3\end{matrix}\right.\)

Vậy  \(I\left(1;3\right)\)

\(a,d//d_1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2=-2\\m\ne3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-4\\ b,d\perp d_2\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\left(m+2\right)=-1\Leftrightarrow m+2=-3\Leftrightarrow m=-5\\ c,d.qua.N\left(1;3\right)\Leftrightarrow x=1;y=3\Leftrightarrow3=m+2+m\\ \Leftrightarrow2m=1\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(d,\) Gọi điểm đó là \(A\left(x_1;y_1\right)\)

\(\Leftrightarrow y_1=\left(m+2\right)x_1+m\\ \Leftrightarrow y_1-mx_1-2x_1-m=0\\ \Leftrightarrow-m\left(x_1+1\right)+y_1-2x_1=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+1=0\\y_1-2x_1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\y_1=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A\left(-1;-2\right)\) luôn đi qua D với mọi m

Giả sử điểm cố định mà đường thẳng đi qua có tọa độ \(\left(x_0;y_0\right)\), khi đó với mọi m ta luôn có:

\(y_0=\left(m+2\right)x_0+\left(m-3\right)y_0-m+8\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0+y_0-1\right)+2x_0-4y_0+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+y_0-1=0\\2x_0-4y_0+8=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-\dfrac{2}{3}\\y_0=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) điểm cố định có tọa độ \(\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)\)

Giả sử điểm cố định mà đường thẳng đi qua là \(M\left(x_0;y_0\right)\Rightarrow\) với mọi m ta có:

\(y_0=\left(2m+3\right)x_0-m+1\)

\(\Leftrightarrow m\left(2x_0-1\right)+3x_0-y_0+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_0-1=0\\3x_0-y_0+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=\dfrac{1}{2}\\y_0=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy điểm cố định mà đường thẳng đi qua là \(M\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right)\)