Cho \(a^2+b^2+c^2=3\) với \(a,b,c\) dương
Tìm Min \(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{x}+\dfrac{c^3}{a}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm Min của: \(A=\dfrac{a^3}{bc+a^2}+\dfrac{b^3}{ac+b^2}+\dfrac{c^3}{ab+c^2}\)
+) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+2b+3c=3
CM: \(\sqrt{\dfrac{2ab}{2ab+9c}}+\sqrt{\dfrac{2bc}{2bc+a}}+\sqrt{\dfrac{ac}{ac+2b}}\le\dfrac{3}{2}\)
+) Cho a,b,c >0 và a+b+c≤3
Tìm min P\(=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\)
a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm min \(P=\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\)
Đây là bài sử dụng Cô-si ngược dấu đặc trưng:
\(\dfrac{1}{a^2+1}=\dfrac{a^2+1-a^2}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b^2+1}\ge1-\dfrac{b}{2}\);
\(\dfrac{1}{c^2+1}\ge1-\dfrac{c}{2}\)
Cộng vế:
\(P\ge3-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đúng 1
Bình luận (0)
5 tháng 5 2022 lúc 22:06
1. Cho a,b,c t/m: \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge\dfrac{4}{3}\\b\ge\dfrac{4}{3}\\c\ge\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) và \(a+b+c=6\)
\(CMR:\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{6}{5}\)
2. Cho x,y >0 t/m: \(2x+3y-13\ge0\)
Tìm min \(P=x^2+3x+\dfrac{4}{x}+y^2+\dfrac{9}{y}\)
Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)
CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
Đúng 7
Bình luận (3)
Cho \(a;b;c\ge\dfrac{4}{3}\) thỏa mãn \(a+b+c=6\)
Tìm min: \(A=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\)
Lời giải:
Xét:
$\frac{a}{a^2+1}-\left(\frac{16}{25}-\frac{3}{25}a\right)=\frac{(a-2)^2(3a-4)}{25(a^2+1)}\geq 0$ với mọi $a\geq \frac{4}{3}$
$\Rightarrow \frac{a}{a^2+1}\geq \frac{16}{25}-\frac{3}{25}a$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra:
$A\geq \frac{48}{25}-\frac{3}{25}(a+b+c)=\frac{6}{5}$
Vậy $A_{\min}=\frac{6}{5}$.
Giá trị này đạt tại $a=b=c=2$
Đúng 1
Bình luận (2)
1.Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\)≤ 3(a+b+c)
2.cho a,b,c dương thỏa man: a2+b2+c2=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\)
Cho a,b,c >0 thỏa a+b+c \(\ge9\)
Tìm Min:
\(P=2\sqrt{a^2+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{5}}+\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{9}{b}+\dfrac{25}{c}}\)
cái kia là \(3\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{9}{b}+\dfrac{25}{c}}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\left(a^2+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{5}\right)\left(1+3+5\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow3\sqrt{a^2+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{5}}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+3\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{3^2}{b}+\dfrac{5^2}{c}}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+3\sqrt{\dfrac{\left(1+3+5\right)^2}{a+b+c}}=\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+\dfrac{27}{\sqrt{a+b+c}}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{27}{2\sqrt{a+b+c}}+\dfrac{27}{2\sqrt{a+b+c}}+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{27^2\left(a+b+c\right)}{2^3\left(a+b+c\right)}}+\dfrac{1}{6}.9=15\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;3;5\right)\)
Đúng 1
Bình luận (0)
cho a+b+c=3/2 a,b,c>0 tìm min F=\(\dfrac{a^2}{a+2b^2}\)+\(\dfrac{b^2}{b+2c^2}\)+\(\dfrac{c^2}{c+2a^2}\)
Cho a,b,c>0 và a=max{a,b,c}.Tìm min của :
\(S=\dfrac{a}{b}+2\sqrt{1+\dfrac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\dfrac{c}{a}}\)