Đưa ra ngoài dấu căn:
a) \(\sqrt{\frac{9a^2-12ab+4b^2}{81a^4b^4}}\)
b) \(\sqrt{\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2}}\)
Câu 4: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a. \(\sqrt{72a^2b^4}\) với a ≥ 0
b. \(\sqrt{27a^3b^2}\) với a ≥ 0 và b < 0
\(a,=6\left|a\right|b^2\sqrt{2}=6ab^2\sqrt{2}\\ b,=3\left|ab\right|\sqrt{3a}=-3ab\sqrt{3a}\)
đưa thừa số ra ngoài dấu căn
\(\frac{2xy^2}{3ab}\sqrt{\frac{9a^3b^4}{8xy^3}}\)với a,b,x,y>0
\(\frac{2xy^2}{3ab}\sqrt{\frac{9a^3b^4}{8xy^3}}=\frac{2xy^2}{3ab}\frac{3\sqrt{a^2.a}\sqrt{\left(b^2\right)^2}}{2\sqrt{2xy^2.y}}\)
\(=\frac{2xy^2}{3ab}\frac{3a\sqrt{a}b^2}{2y\sqrt{2xy}}=\frac{6xy^2ab^2\sqrt{a}}{6aby\sqrt{2xy}}=\frac{bxy\sqrt{a}}{\sqrt{2xy}}\)
\(=\frac{bxy\sqrt{2axy}}{2xy}=\frac{b\sqrt{2axy}}{2}\)
Viết các số hoặc biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi đưa 1 thừa số ra ngoài dấu căn.
√108(a + 7)^2
√81a^4b^7
√16a^5b^3 (a ≥ 0, b ≤ 0)
a: \(\sqrt{36\cdot3\cdot\left(a+7\right)^2}=6\sqrt{3}\left|a+7\right|\)
b: \(\sqrt{9^2\cdot a^4\cdot b^3\cdot b^3\cdot b}=9a^2b^3\sqrt{b}\)
c: Nếu đk xác định như này thì \(C=\sqrt{16a^5b^3}\) chỉ xác định với a=b=0 thôi nha bạn
=>C=0
Rút gọn biểu thức
Giải nhanh giúp mk nha!Thanks <3
1.\(5\sqrt{a}+6\sqrt{a.\frac{1}{4}}-\sqrt{a^2.\frac{4}{a}}+\sqrt{5}=5\sqrt{a}+6.\frac{1}{2}\sqrt{a}-2\sqrt{a}\)+\(\sqrt{5}\)
bạn tự làm nốt các câu này và làm tương tự các câu kia nhé!!Nếu khó chỗ nào hãy nhắn tin cho mk!! hihi
Rut gon cac bieu thuc sau :
1)\(\frac{1}{a+b}.\sqrt{a^4\left(a-b\right)^2}\)
2)\(\sqrt{9a^2.\left(b^2-4b+4\right)}\)
3)\(\sqrt{13a}.\sqrt{\frac{52}{a}}\) với a ≦ 0
4) 4x- \(\sqrt{8}-\sqrt{a^2}\) với a > 1
1: \(=\dfrac{1}{a+b}\cdot a^2\cdot\left|a-b\right|=\dfrac{a^2\left|a-b\right|}{a+b}\)
2: \(=\sqrt{9}\cdot\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{\left(b-2\right)^2}=9\cdot\left|a\right|\cdot\left|b-2\right|\)
3: \(=\sqrt{13a\cdot\dfrac{52}{a}}=\sqrt{52\cdot13}=2\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}=26\)
4: \(=4x-2\sqrt{2}-a\)(vì a>1>0)
Giúp mình mấy câu này với nhé các ban.
1) Cho a,b,c>0 cmr:\(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a^2}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)
2)Cho a,b,c>0 và abc=1. Cmr:\(\sqrt{\frac{a}{4a+4b+1}}+\sqrt{\frac{b}{4b+4c+1}}+\sqrt{\frac{c}{4c+4a+1}}\le1\)
3)Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3 Cmr \(\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le\frac{3}{4}\)
Mình cảm ơn các bạn nhiều
Bài 1:
Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)
Ta có:\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}\right]\)
Tương tự với \(\sqrt{\frac{y}{y+z}}\)và \(\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)
Cộng lại ta được:
\(\frac{\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]+\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Sau đó bình phương hai vế rồi
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)đẳng thức đúng
Vậy...
Bài 2:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\le\frac{1}{3}\)
Nhân cả hai vế bđt với 4(a+b+c)4(a+b+c) rồi thu gọn ta được bđt sau:
\(\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+c}+\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}+\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}\)\(\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\left[\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+}-a\right]+\left[\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}-b\right]+\left[\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}-c\right]\le\frac{a+b+c}{3}\)
\(\frac{ca}{4a+4b+c}+\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}\le\frac{a+b+c}{9}\)
Áp dụng bđt cauchy-Schwarz ta có \(\frac{ca}{4a+4b+c}=\frac{ca}{\left(2b+c\right)+2\left(2a+b\right)}\)\(\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}\right)\)
Từ đó ta có:
\(\text{∑}\frac{ca}{4a+4b+c}\le\frac{1}{9}\text{∑}\left(\frac{ca}{2b+c}+\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ab}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}\)
Đặt VT=A rồi áp dụng bđt cauchy-Schwarz cho VT ta có
\(T^2\le3\left(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\right)\)\(\le3\cdot\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow T\le1\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
c bạn tự làm nhé mình mệt rồi :D
Với a>0, b>0, b#1/4, rút gọn bt: \(\frac{a+\sqrt{a}+\frac{1}{4}}{2\sqrt{a}+1}\) : \(\frac{4b-1}{8\sqrt{b}-4}\)
\(P=\frac{\frac{1}{4}\left(4a+4\sqrt{a}+1\right)}{2\sqrt{a}+1}.\frac{4\left(2\sqrt{b}-1\right)}{\left(2\sqrt{b}\right)^2-1}\)
\(P=\frac{\left(2\sqrt{a}+1\right)^2}{\left(2\sqrt{a}+1\right)}.\frac{\left(2\sqrt{b}-1\right)}{\left(2\sqrt{b}-1\right)\left(2\sqrt{b}+1\right)}\)
\(P=\frac{2\sqrt{a}+1}{2\sqrt{b}-1}\)
1) Cho a,b,c>0 và a+b+c=3
Chứng minh rằng \(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+4b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+4c^2}\le\frac{1}{2}\)
2) Giaỉ phương trình
\(\frac{4}{\sqrt{x-2}}+\frac{1}{\sqrt{y-1}}+\frac{25}{\sqrt{z-5}}=16-\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}-\sqrt{z-5}\)
Thôi giải lại câu 1:v (ý tưởng dồn biến là quá trâu bò! Bên AoPS em mới phát hiện ra có một cách bằng Cauchy-Schwarz quá hay!)
\(BĐT\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{9}{2}\)(*)
BĐT này đúng theo Cauchy-Schwarz: \(VT_{\text{(*)}}\le\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2}{2a^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)=\frac{9}{2}\)
Ta có đpcm.
Equality holds when a = b = c = 1 (Đẳng thức xảy ra khi a = b =c = 1)
1/Đặt \(VT=f\left(a;b;c\right)\) và \(0< t=\frac{a+b}{2}\)
Ta có: \(f\left(a;b;c\right)-f\left(t;t;c\right)=\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+a^2+c^2}-\frac{2}{5t^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+4c^2}-\frac{1}{2t^2+4c^2}\)
\(=\frac{5t^2-4a^2-b^2}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{5t^2-4b^2-a^2}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}+\frac{2t^2-a^2-b^2}{\left(a^2+b^2+4c^2\right)\left(2t^2+4c^2\right)}\)
\(=-\frac{1}{4}\left(a-b\right)\left[\frac{\left(11a+b\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)}-\frac{\left(a+11b\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}\right]+\frac{2t^2-a^2-b^2}{\left(a^2+b^2+4c^2\right)\left(2t^2+4c^2\right)}\)
Xét cái ngoặc to: \(\frac{\left(11a+b\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)}-\frac{\left(a+11b\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}\)
\(=\frac{\left(11a+b\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)-\left(a+11b\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(7a^2-36ab+7b^2+10c^2\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}\)
Từ đó: f(a;b;c) -f(t;t;c)
\(=-\frac{\frac{1}{4}\left(a-b\right)^2\left(7a^2-36ab+7b^2+10c^2\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}+\frac{-\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+b^2+4c^2\right)\left(2t^2+4c^2\right)}\)
\(=-\frac{1}{4}\left(a-b\right)^2\left[\frac{\left(7a^2-36ab+7b^2+10c^2\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}+\frac{2}{\left(a^2+b^2+4c^2\right)\left(2t^2+4c^2\right)}\right]\le0\)
Do đó \(f\left(a;b;c\right)\le f\left(t;t;c\right)=f\left(t;t;3-2t\right)\)
\(=\frac{-9\left(t-1\right)^4}{2\left(3t^2-8t+6\right)\left(3t^2-4t+3\right)}+\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}\)
Ta có đpcm.
Rút gọn biểu thức sau :
\(I=\frac{a^{\frac{4}{3}}-8a^{\frac{2}{3}}b}{a^{\frac{2}{3}}+2\sqrt[3]{ab}+4b^{\frac{2}{3}}}\left(1-2\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)^{-1}-a^{\frac{2}{3}}\)
\(I=\frac{a^{\frac{4}{3}}-8a^{\frac{2}{3}}b}{a^{\frac{2}{3}}+2\sqrt[3]{ab}+4b^{\frac{2}{3}}}\left(1-2\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)^{-1}-a^{\frac{2}{3}}=\frac{a^{\frac{1}{3}}\left(a-8b\right)}{a^{\frac{2}{3}}+2a^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{1}{3}}+4b^{\frac{2}{3}}}\left(\frac{\sqrt[3]{a}-2\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}}\right)^{-1}-a^{\frac{2}{3}}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{a}\left[\left(\sqrt[3]{a}\right)^3-\left(2\sqrt[3]{b}\right)^3\right]}{a^{\frac{2}{3}}+2\sqrt[3]{ab}+4b^{\frac{2}{3}}}.\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}-2\sqrt[3]{b}}-a^{\frac{2}{3}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt[3]{a}\right)^2\left(\sqrt[3]{a}-2\sqrt[3]{b}\right)\left[\left(\sqrt[3]{a}\right)^2+2\sqrt[3]{ab}+\left(2\sqrt[3]{b}\right)^2\right]}{\left(\sqrt[3]{a}-a\sqrt[3]{b}\right)\left[\left(\sqrt[3]{a}\right)^2+2\sqrt[3]{ab}+\left(2\sqrt[3]{b}\right)^2\right]}-a^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{2}{3}}=0\)