Lời giải:

Vì ĐT cần tìm đi qua $M(1,4)$ nên PTĐT có dạng:

$a(x-1)+b(y-4)=0\Leftrightarrow ax+by-(a+4b)=0(d)$ với $a^2+b^2\neq 0$

$A\in Ox\Rightarrow y_A=0$

$A\in (d)\Rightarrow ax_A+by_A-(a+4b)=0$

$\Leftrightarrow ax_A-(a+4b)=0\Rightarrow x_A=\frac{a+4b}{a}$

$B\in Oy\Rightarrow x_B=0$

$B\in (d)\Rightarrow ax_B+by_B-(a+4b)=0$

$\Leftrightarrow by_B-(a+4b)=0\Rightarrow y_B=\frac{a+4b}{b}$

Diện tích tam giác $ABC$:

$\frac{OB.OA}{2}=\frac{|y_B|.|x_A|}{2}=|\frac{(a+4b)^2}{ab}|\geq |\frac{(2\sqrt{4ab})^2}{ab}|=16$

Vậy $S_{OAB}$ min $=16$. Giá trị này đạt tại $a=4b$

Thay vào PTĐT $(d)$:

$4bx+by-(4b+4b)=0$

$\Leftrightarrow b(4x+y-8)=0$. Do $a=4b$ và $a^2+b^2\neq 0$ nên $b\neq 0$

$\Rightarrow 4x+y-8=0$

Đây chính là PTĐT cần tìm.

Chọn đáp án C.

a: Đặt (d1): y=ax+b(a<>0)

Vì (d1) vuông góc với (d) nên 3a=-1

=>\(a=-\dfrac{1}{3}\)

Vậy: (d1): \(y=-\dfrac{1}{3}x+b\)

Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-\dfrac{1}{3}x+b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-\dfrac{1}{3}x=-b\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\dfrac{x}{3}=b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3b\\y=0\end{matrix}\right.\)

=>A(3b;0)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-\dfrac{1}{3}\cdot0+b=b\end{matrix}\right.\)

=>B(0;b)

\(AB=2\sqrt{10}\)

=>\(AB^2=40\)

=>\(\left(0-3b\right)^2+\left(b-0\right)^2=40\)

=>\(10b^2=40\)

=>\(b^2=4\)

=>b=2 hoặc b=-2

Vậy: (d1): y=-1/3x+2 hoặc (d1): y=-1/3x-2

b: Đặt (d2): y=ax+b

Vì (d2)//(d) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b\ne-5\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d2): y=3x+b

Tọa độ C là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\3x+b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=-\dfrac{b}{3}\end{matrix}\right.\)

=>\(C\left(-\dfrac{b}{3};0\right)\)

tọa độ D là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=3x+b=3\cdot0+b=b\end{matrix}\right.\)

=>D(0;b)

\(OC=\sqrt{\left(-\dfrac{b}{3}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{b}{3}\right)^2+0}=\dfrac{\left|b\right|}{3}\)

\(OD=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(b-0\right)^2}=\sqrt{0^2+b^2}=\left|b\right|\)

Vì Ox\(\perp\)Oy nên OC\(\perp\)OD

=>ΔOCD vuông tại O

=>\(S_{OCD}=\dfrac{1}{2}\cdot OC\cdot OD\)

=>\(S_{OCD}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left|b\right|}{3}\cdot\left|b\right|=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{b^2}{3}\)

Để \(S_{OCD}=6\) thì \(\dfrac{b^2}{6}=6\)

=>\(b^2=36\)

=>\(b=\pm6\)

Vậy: (d2): y=3x+6 hoặc (d2): y=3x-6

Để ΔOCD cân tại O thì OC=OD

=>\(\dfrac{\left|b\right|}{3}=\left|b\right|\)

=>\(\left|b\right|=0\)

=>b=0

Vậy: (d2): y=3x

Phương trình đường thẳng d có dạng:

\(y=kx-2k+1\)

Tọa độ A và B có dạng: \(A\left(\dfrac{2k-1}{k};0\right)\) ; \(B\left(0;-2k+1\right)\)

Để A, B nằm trên các tia Ox, Oy \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2k-1}{k}>0\\-2k+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow k< 0\)

Khi đó ta có: \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=4\Leftrightarrow OA.OB=8\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2k-1}{k}\right)\left(-2k+1\right)=8\)

\(\Leftrightarrow4k^2-4k+1=-8k\Leftrightarrow4k^2+4k+1=0\Rightarrow k=-\dfrac{1}{2}\)

Phương trình d: \(y=-\dfrac{1}{2}x+2\)

 Gọi \(A\left(a;0\right),\left(B;b\right)\left(a,b>0\right)\)

Pt đường thẳng cần tìm có dạng :

\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)

Vì đường thẳng qua M(3;2) nên:

\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}=1\left(1\right)\)

a) \(0A+0B=12\Leftrightarrow a+b=12\Leftrightarrow a=12-b\left(2\right)\)

Thay (2) vào (1) ta có: \(\dfrac{3}{12-b}+\dfrac{2}{b}=1\)

\(\Leftrightarrow3b+2\left(12-b\right)=\left(12-b\right)b\)

\(\Leftrightarrow b^2-11b+24=0\Leftrightarrow b=3hayb=8\)

+ Với b=3=>a=9 => \(\dfrac{x}{9}+\dfrac{y}{3}=1\Leftrightarrow x+3y-9=0\)

+ Với b=8=>a=4 => \(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{8}=1\Leftrightarrow2x+y-8=0\)

b) \(S_{\Lambda OAB}=\dfrac{1}{2}0A.0B=\dfrac{1}{2}ab=12\Leftrightarrow a=\dfrac{24}{b}\left(3\right)\)

Thay (3) vào (1) ta có: \(\dfrac{3b}{24}+\dfrac{2}{b}=1\Leftrightarrow b^2+16=8b\Leftrightarrow\left(b-4\right)^2=0\Leftrightarrow b=4\)

\(\Rightarrow a=6\Rightarrow\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{4}=1\Leftrightarrow2x+3y-12=0\)

Câu 2: 

Tọa độ điểm A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\2x+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(-2;0\right)\)

Tọa độ điểm B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\cdot0+4=4\end{matrix}\right.\)

=>B(0;4)

Tọa độ điểm C là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-\dfrac{1}{2}x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow C\left(2;0\right)\)

Tọa độ điểm D là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\dfrac{-1}{2}\cdot0+1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow D\left(0;1\right)\)

Tọa độ điểm M là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+4=-\dfrac{1}{2}x+1\\y=2x+4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1,2\\y=1,6\end{matrix}\right.\)

M(-1,2;1,6); A(-2;0); B(0,4); C(2;0); D(0;1)

\(\overrightarrow{MA}=\left(-0.8;-1.6\right)\)

\(\overrightarrow{MC}=\left(3.2;-1.6\right)\)

Vì \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=0\)

nên ΔMAC vuông tại M

b: \(MA=\sqrt{\left(-0.8\right)^2+\left(-1.6\right)^2}=\dfrac{4}{5}\sqrt{5}\)

\(MC=\sqrt{3.2^2+1.6^2}=\dfrac{8}{5}\sqrt{5}\)

\(S_{MAC}=\dfrac{4}{5}\sqrt{5}\cdot\dfrac{8}{5}\sqrt{5}:2=3.2\)