Dễ có các bất đẳng thức sau: (chứng minh bằng cách chuyển vế và phân tích...)

\(\frac{a^2}{2}+b^2\ge\sqrt{2}ab\)

\(b^2+\frac{c^2}{2}\ge\sqrt{2}bc\)

\(\frac{c^2}{2}+d^2\ge\sqrt{2}cd\)

\(d^2+\frac{a^2}{2}\ge\sqrt{2}da\)

Cộng lại là xong.

Hoặc SOS cho nó:

\(VT-VP=\frac{1}{4}\left[2\left(a-c\right)^2+\left(a+c-2\sqrt{2}b\right)^2+\left(a+c-2\sqrt{2}d\right)^2\right]\)

Hoặc kinh khủng hơn: 

\(4\left(a^2+b^2\right)\left(VT-VP\right)=2\left(a^2+b^2\right)\left(a-c\right)^2+\left(a^2-ab+ac-2\sqrt{2}ad+2\sqrt{2}b^2-bc\right)^2+\left(a^2+ac+\left(1-2\sqrt{2}\right)ab+bc-2\sqrt{2}bd\right)^2\)

\(\ge0\)

cộng 4 biểu thức lại ta có:

\(\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)+\left(d-2\sqrt{da}+a\right)+a+b+c+d\)

\(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{d}\right)^2+\left(\sqrt{d}-\sqrt{a}\right)^2+a+b+c+d>0\)

g/s 4 biểu thức đó đều âm=>tổng của chúng âm

=>1 trong 4 biểu thức có 1 biểu thức là số dương

chỉ có 1 biểu thức là số dương.

Áp dụng BĐT Bunhia- cốp -xki ta có

\(M=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a+b\right)\le2\)

Vậy maxM =2 \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

nhấn vào đây nha: [Đại số] Một bài toán chứng minh sự tồn tại. | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam

hì hì ok nha!! 7655685795325325454364561253454364565464575678568788978676

Ta có : \(x=2a+b-2\sqrt{cd};y=2b+c-2\sqrt{ad};z=2c+d-2\sqrt{ab};t=2d+a-2\sqrt{bc}\)

\(\Rightarrow x+z=2a+b-2\sqrt{cd}+2c+d-2\sqrt{ab}=\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(c-2\sqrt{cd}+d\right)+a+c=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{d}\right)^2+a+c>0\)

\(\Rightarrow x+z>0\) => Một trong hai số x và z phải có ít nhất một số dương (1) . Thật vậy , giả sử x<0 , z<0 => x+z<0 => vô lí.

Tương tự ta cũng có : \(y+t=\left(\sqrt{a}-\sqrt{d}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+b+d>0\) \(\Rightarrow y+t>0\) => Một trong hai số y và t phải có ít nhất một số dương (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

1. ĐKXĐ: \(-1\le x\le1\)

\(A^2=1-x+1+x+2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}=2+2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}\ge2\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{2}\). Vậy min A = \(\sqrt{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn)

Mặt khác \(A^2=2+2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}\le2+1-x+1+x=4\)

\(\Rightarrow A\le2\). Vậy max A = 2\(\Leftrightarrow x=0\)(thỏa mãn)