Question

Cho các số : \(x=2a+b-2\sqrt{cd}\)   

\(y=2b+c-2\sqrt{ad}\)

\(z=2c+d-2\sqrt{ab}\)

\(t=2d+a-2\sqrt{bc}\)

với a,b,c,d >0 . CMR : tồn tại ít nhất có 2 số dương trong 4 số trên

Answer 1

Ta có : \(x=2a+b-2\sqrt{cd};y=2b+c-2\sqrt{ad};z=2c+d-2\sqrt{ab};t=2d+a-2\sqrt{bc}\)

\(\Rightarrow x+z=2a+b-2\sqrt{cd}+2c+d-2\sqrt{ab}=\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(c-2\sqrt{cd}+d\right)+a+c=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{d}\right)^2+a+c>0\)

\(\Rightarrow x+z>0\) => Một trong hai số x và z phải có ít nhất một số dương (1) . Thật vậy , giả sử x<0 , z<0 => x+z<0 => vô lí.

Tương tự ta cũng có : \(y+t=\left(\sqrt{a}-\sqrt{d}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+b+d>0\) \(\Rightarrow y+t>0\) => Một trong hai số y và t phải có ít nhất một số dương (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.