Question

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn : \(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}=\frac{3}{2}\)

CMR :\(a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}\)

Answer 1

Đặt \(m=a^2+b^2+c^2,m\ge0\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : 

\(\frac{9}{4}=\left(a.\sqrt{1-b^2}+b.\sqrt{1-c^2}+c.\sqrt{1-a^2}\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(3-a^2-b^2-c^2\right)\)

\(\Rightarrow m\left(3-m\right)\ge\frac{9}{4}\) \(\Leftrightarrow\left(m-\frac{3}{2}\right)^2\le0\) mà ta luôn có \(\left(m-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)

Do đó \(\left(m-\frac{3}{2}\right)^2=0\Rightarrow m=\frac{3}{2}\)

Vậy \(a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}\)