\(\sqrt[3]{1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}}\)
chứng minh biểu thức trên là số nguyên
CM: \(\sqrt[3]{1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}}\) là số nguyên
chứng minh rằng biểu thức sau là một số nguyên
\(\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\)
Đặt \(A=\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\)
\(\Rightarrow A^3=1+\frac{\sqrt{84}}{9}+1-\frac{\sqrt{84}}{9}+3.\sqrt[3]{\left(1+\frac{\sqrt{84}}{9}\right)^2\left(1-\frac{\sqrt{84}}{9}\right)}+3.\sqrt[3]{\left(1+\frac{\sqrt{84}}{9}\right)\left(1-\frac{\sqrt{84}}{9}\right)^2}\)
\(A^3=2+3.\sqrt[3]{-\frac{1}{27}.\left(1+\frac{\sqrt{84}}{9}\right)}+3.\sqrt[3]{-\frac{1}{27}.\left(1-\frac{\sqrt{84}}{9}\right)}\)
\(=2-\left(\sqrt[3]{\left(1+\frac{\sqrt{84}}{9}\right)}+\sqrt[.3]{\left(1-\frac{\sqrt{84}}{9}\right)}\right)\)
\(A^3=2-A\Leftrightarrow\left(A-1\right)\left(A^2+A+2\right)=0\Rightarrow A=1\)
Đặt \(A=\sqrt[3]{\frac{9+2\sqrt{21}}{9}}+\sqrt[3]{\frac{9-2\sqrt{21}}{9}}\)
\(A^3=\frac{9+2\sqrt{21}+9-2\sqrt{21}}{9}+3\sqrt[3]{\frac{9^2-4\cdot21}{9^2}}A\)
\(A^3-2+A=0\Leftrightarrow\left(A-1\right)\left(A^2+A+1\right)+A-1=0\Leftrightarrow\left(A-1\right)\left(A^2+A+2\right)=0\)
\(\Rightarrow A=1\)(ĐPCM)
Tính A= \(\frac{\sqrt{2}\left(3+\sqrt{5}\right)}{2\sqrt{2}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}+\frac{\sqrt{2}\left(3-\sqrt{5}\right)}{2\sqrt{2}-\sqrt{3-\sqrt{ }}5}\)
Chứng minh rằng các biểu thức sau là 1 số nguyên:
a) \(A=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}-\sqrt[3]{14\sqrt{2}-20}\)
b) \(B=\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\)
Chứng minh rằng \(\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\) là một số nguyên
Đặt \(\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}=a;\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}=b\Rightarrow x=a+b;a^3+b^3=2;ab=-\frac{1}{3}\)
Ta có:\(x^3=\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow x^3=2-x\Leftrightarrow x^3+x-2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right).\left(x^2+x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\).Vì \(x^2+x+2=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
~~~~~~~~~~~ Chúc bạn hok tốt~~~~~~~~~~~~
Tính giá trị của biểu thức \(P=x^3+y^3-3\left(x+y\right)+2004\)
biết \(x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}\)và \(y=\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}+\sqrt[3]{17-12\sqrt{2}}\)
Chứng minh rằng \(\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\) là một số nguyên
Đặt \(\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}=a\);\(\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}=b\)
\(\Rightarrow x=a+b;a^3+b^3=2;ab=-\frac{1}{3}\)
Ta có: \(x^3=\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow x^3=2-x\Leftrightarrow x^3+x-2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\).vì \(x^2+x+2=0=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\)
=> đpcm
P/s tham khảo
Cmr: A = \(\sqrt[3]{1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}}\) là số nguyên
=A=\(\sqrt[3]{1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}}\)
có (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=a3+b3+3ab(a+b)
Ad ta có
A3=2+3(\(\sqrt[3]{1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}}\)) .
(\(\sqrt[3]{\left(1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}\right)\left(1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}\right)}\))
A3=2+3A\(\sqrt[3]{1-\dfrac{84}{81}}\)
A3=2-A
=>A3+A-2=0
=>A3-A+2A-2=0
=>A(A2-1)+2(A-1)=0
=>A(A-1)(A+1)+2(A-1)=0
=>(A-1)(A2+A+2)=0
=>(A-1)(A2+2.\(\dfrac{1}{2}\)A+\(\dfrac{1}{4}\)+\(\dfrac{7}{4}\))=0
=>(A-1)((A+\(\dfrac{1}{2}\))2+\(\dfrac{7}{4}\))=0
=> A=1
hoặc (A+\(\dfrac{1}{2}\))2+\(\dfrac{7}{4}\)=0(loại)
vậy A nguyên
Hỏi D=\(\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}}\right)\) có là số nguyên không?
Lời giải:
Đặt \(\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}=a; \sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}=b\)
Khi đó:
\(a^3+b^3=1+\frac{\sqrt{84}}{9}+1-\frac{\sqrt{84}}{9}=2\)
\(ab=\sqrt[3]{\left(1+\frac{\sqrt{84}}{9}\right)\left(1-\frac{\sqrt{84}}{9}\right)}=\sqrt[3]{1-\frac{84}{81}}=\frac{-1}{3}\)
Suy ra:
\(D^3=(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=2+3.\frac{-1}{3}.D\)
\(\Leftrightarrow D^3=2-D\Leftrightarrow D^3+D-2=0\)
\(\Leftrightarrow D^2(D-1)+D(D-1)+2(D-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (D-1)(D^2+D+2)=0\)
Dễ thấy \(D^2+D+2>0\Rightarrow D-1=0\Leftrightarrow D=1\)
Vậy $D$ là một số nguyên.
Cho x= \(\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\)
Chứng minh x có giá trị là số nguyên.
Ta có : \(x=\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\)
\(\Leftrightarrow x^3=\left(\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow x^3=1+\frac{\sqrt{84}}{9}+1-\frac{\sqrt{84}}{9}+3.\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}.\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\left(\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}^3\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3=2+3.\sqrt[3]{1^2-\frac{84}{81}}.x\Leftrightarrow x^3=2-x\)
\(\Leftrightarrow x^3+x-2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-1=0\\x^2+x+2=0\end{array}\right.\)
Vì \(x^2+x+2=\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{7}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\) nên pt này vô nghiệm.
Vậy x - 1 = 0 => x = 1
Vậy x có giá trị là số nguyên.
Cho 2 biểu thức A= \(\dfrac{7}{\sqrt{x}+8}\) và B=\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2\sqrt{x}-24}{x-9}\)
a) Chứng minh B= \(\dfrac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}\)
b) Tìm GTLN của B
c) Tìm số nguyên x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên.