Question

Hỏi D=\(\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}}\right)\) có là số nguyên không?

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}=a; \sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}=b\)

Khi đó:

\(a^3+b^3=1+\frac{\sqrt{84}}{9}+1-\frac{\sqrt{84}}{9}=2\)

\(ab=\sqrt[3]{\left(1+\frac{\sqrt{84}}{9}\right)\left(1-\frac{\sqrt{84}}{9}\right)}=\sqrt[3]{1-\frac{84}{81}}=\frac{-1}{3}\)

Suy ra:

\(D^3=(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=2+3.\frac{-1}{3}.D\)

\(\Leftrightarrow D^3=2-D\Leftrightarrow D^3+D-2=0\)

\(\Leftrightarrow D^2(D-1)+D(D-1)+2(D-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (D-1)(D^2+D+2)=0\)

Dễ thấy \(D^2+D+2>0\Rightarrow D-1=0\Leftrightarrow D=1\)

Vậy $D$ là một số nguyên.