Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Dương Hải

\(\sqrt[3]{1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}}\)

chứng minh biểu thức trên là số nguyên

Nào Ai Biết
10 tháng 7 2018 lúc 10:07

Đặt \(A=\sqrt[3]{1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}}\)

\(\Rightarrow A^3=1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}+1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}+3A.\sqrt[3]{1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}}.\sqrt[3]{1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}}\)

\(\Leftrightarrow A^3=2+3A.\sqrt[3]{1-\dfrac{84}{81}}\)

\(\Leftrightarrow A^3=2+3A.\sqrt[3]{-\dfrac{3}{81}}=2+3A.\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27}}\)

\(\Leftrightarrow A^3=2-A\)

\(\Leftrightarrow A^3+A-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)\left(A^2+A+2\right)=0\)

Dể thấy \(A^2+A+2=\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\)

\(\Rightarrow A-1=0\Leftrightarrow A=1\)

Vậy \(\sqrt[3]{1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}}\) là số nguyên (đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Shinichi Kudo
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ Lệ
Xem chi tiết
Nhi Lê Nguyễn Bảo
Xem chi tiết
Thu Hien Tran
Xem chi tiết
Nguyễn Đăng Khoa
Xem chi tiết
Trúc Giang
Xem chi tiết
_Banhdayyy_
Xem chi tiết
Ly Ly
Xem chi tiết
Hải Yến Lê
Xem chi tiết