Cho x+y+z=12. Tìm Min của A=\(\dfrac{xy}{12-z}+\dfrac{yz}{12-x}+\dfrac{zx}{12-y}\)(làm ơn giúp mình với )
1. tìm min của hàm số \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{1-x}\)với 0 < x < 1
2. tìm max của biểu thức \(P=\dfrac{xy\sqrt{z-1}+yz\sqrt{x-2}+zx\sqrt{y-3}}{xyz}\)với x >=2; y>=3; z >=1
1. 1/x + 2/1-x = (1/x - 1) + (2/1-x - 2) + 3
= 1-x/x + (2-2(1-x))/1-x + 3
= 1-x/x + 2x/1-x + 3 >= 2√2 + 3
Dấu "=" xảy ra khi x =√2 - 1
2. a = √z-1, b = √x-2, c = √y-3 (a,b,c >=0)
=> P = √z-1 / z + √x-2 / x + √y-3 / y
= a/a^2+1 + b/b^2+2 + c/c^2+3
a^2+1 >= 2a => a/a^2+1 <= 1/2
b^2+2 >= 2√2 b => b/b^2+2 <= 1/2√2
c^2+3 >= 2√3 c => c/c^2+3 <= 1/2√3
=> P <= 1/2 + 1/2√2 + 1/2√3
Dấu = xảy ra khi a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 =3
<=> z-1 = 1, x-2 = 2, y-3 = 3
<=> x=4, y=6, z=2
tìm x,y,z biết:
\(\dfrac{xy}{12}=\dfrac{yz}{20}=\dfrac{zx}{15}\) và xy+yz+zx= 188
x=6
y=8
z=10
Xin lỗi bạn vì mình không biết cách để tính theo cách tích ở tử.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{xy}{12}=\dfrac{yz}{20}=\dfrac{zx}{15}=\dfrac{xy+yz+zx}{12+20+15}=\dfrac{188}{47}=4\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=4.12\\yz=4.20\\zx=4.15\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=48\\yz=80\\zx=60\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2.y^2.z^2=48.80.60\)
\(\Rightarrow\left(xyz\right)^2=480^2\)
\(\Rightarrow xyz=480\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=480:80\\y=480:60\\z=480:48\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=8\\z=10\end{matrix}\right.\)
Vậy...
Giải hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=6\\xy+yz+zx=12\\\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{z}=3\end{matrix}\right.\)
x + y + z = 6 => (x + y + z)2 = 36
=> x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 36
=> x2 + y2 + z2 = 36 - 2.12 = 12
=> x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
Ta có VT \(\ge\) VP. Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z
Thay vào hệ ta có (x; y; z) = (2; 2; 2)
Cho x, y, z > 0 và x+y+z=1. Tìm MIN của :
P= \(\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{2023}{xy+yz+zx}\)
\(P=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{2023}{xy+yz+zx}\)
\(=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{1}{xy+yz+zx}+\dfrac{1}{xy+yz+zx}+\dfrac{2021}{xy+yz+zx}\)
\(\ge\dfrac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\dfrac{2021}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)\(=9+\dfrac{2021}{\dfrac{1}{3}}=6072\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Ta có:
+) \(xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\left(\text{Cô si}\right)\)
+) \(\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{1}{xy+yz+zx}+\dfrac{1}{xy+yz+zx}\)
\(\ge\dfrac{9}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{9}{\left(x+y+z\right)^2}\left(\text{Svácxơ}\right)\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+xz=12. Chứng minh rằng:
\(\sqrt[x]{\dfrac{\left(12+y^2\right)\left(12+z^2\right)}{12+x^2}}\)+ \(\sqrt[y]{\dfrac{\left(12+x^2\right)\left(12+z^2\right)}{12+y^2}}\)+ \(\sqrt[z]{\dfrac{\left(12+x^2\right)\left(12+y^2\right)}{12+z^2}}\)
Giải hệ phương trình sau: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{xy}{y+x}=\dfrac{12}{5}\\\dfrac{yz}{y+z}=\dfrac{18}{5}\\\dfrac{zx}{z+x}=\dfrac{36}{13}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{xy}{x+y}=\dfrac{12}{5}\\\dfrac{yz}{y+z}=\dfrac{18}{5}\\\dfrac{zx}{z+x}=\dfrac{36}{13}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{5}{12}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{5}{18}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{13}{36}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{12}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{18}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{13}{36}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế ta thu được :
\(2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{19}{18}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{19}{36}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{9}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=6\\z=9\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(4;6;9\right)\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Tìm Min \(P=\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\)
\(P\ge\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3z^3}}}{yz}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3x^3}}}{zx}\)
\(P\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy.yz.zx}}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Ta có bất đẳng thức sau \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0.\)
Do đó:
\(P=\sum\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\sum\dfrac{\sqrt{xyz+xy\left(x+y\right)}}{xy}\)
\(=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{yz}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1.$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(P=\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\)
\(\ge\dfrac{\sqrt{3xy}}{xy}+\dfrac{\sqrt{3yz}}{yz}+\dfrac{\sqrt{3zx}}{zx}\)
\(=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)
\(\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}}=3\sqrt{3}\)
\(minP=3\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z\)
cho ác số dương x ,y ,z thả mãn x+y+z=3.Tìm GTLN của
B=\(\sqrt{\dfrac{xy}{xy+3z}}\)+\(\sqrt{\dfrac{yz}{yz+3x}}\)+\(\sqrt{\dfrac{zx}{zx+3y}}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và kết hợp với giả thiết x + y + z = 3 ta có:
\(B=\sqrt{\dfrac{xy}{xy+z\left(x+y+z\right)}}+\sqrt{\dfrac{yz}{yz+x\left(x+y+z\right)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{zx+y\left(x+y+z\right)}}\)
\(B=\sqrt{\dfrac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\dfrac{yz}{\left(y+x\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{\left(z+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}+\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}+\dfrac{x}{z+x}\right)\)
\(B\le\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.
Vậy...
cho x,y,z>0 và x+y+z=\(\dfrac{3}{2}\)
tìm Min \(P=\dfrac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{\left(x+y\right)^2+1}+\dfrac{\sqrt{y^2+yz+z^2}}{\left(y+z\right)^2+1}+\dfrac{\sqrt{z^2+zx+x^2}}{\left(z+x\right)^2+1}\)
Đề bài sai, biểu thức này ko có min