Xét tứ giác AMHN có góc ANM = góc AHM (1) (2 góc trong tứ giác nội tiếp cùng nhìn xuống cạnh AM)

Mà góc AHM = góc B = 90^o – BHM (2)

(1)(2) => góc ANM = góc B

Xét tam giác ANM và tam giác ABC có:

Góc A chung

Góc ANM = góc B

ð       tam giác ANM đồng dạng tam giác ABC (g – g)

ð       AN/AB = AM/AC

ð       AN.AC = AB.AM

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(AB.AM=AH^2\)

\(AC.AN=AH^2\)

suy ra:  \(AB.AM=AC.AN\) (đpcm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH với đường cao BM:

\(AH^2=AM.AB\) (1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACH với đường cao CN:

\(AH^2=AN.AC\) (2)

(1);(2)\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)

AMAC=ANAB" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.08px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">AMAC=ANAB" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.08px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">AMAC=ANAB.

AMAC=ANAB" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.08px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">AMAC=ANAB.

1AD=BH+CHBH.CH⇒1AD=1HB+1HC." role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.08px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">1AD=BH+CHBH.CH⇒1AD=1HB+1HC." role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.08px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">1AD=BH+CHBH.CH⇒1AD=1HB+1HC." role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.08px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒1AD=1HB+1HC.

\(\Rightarrow\) $BMNC$ là tứ giác nội tiếp.

TRẢ HIỂU GÌ ?????????????????????

a.

Đường tròn (O)(O), đường kính AHAH có \widehat{AMH} = 90^{\circ} \Rightarrow HM \perp AB 

AMH

 =90 

∘

 ⇒HM⊥AB.

\Delta AHBΔAHB vuông tại HH có HM \perp AB \Rightarrow AH^2 = AB . AMHM⊥AB⇒AH 

2

 =AB.AM.

Chứng minh tương tự AH^2 = AC . ANAH 

2

 =AC.AN.

Suy ra AB.AM = AC.ANAB.AM=AC.AN.

b.

Theo câu a ta có AB.AM = AC.AN \Rightarrow \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}AB.AM=AC.AN⇒ 

AC

AM

​ 

 = 

AB

AN

​ 

 .

Tam giác AMNAMN và tam giác ACBACB có \widehat{MAN} 

MAN

  chung và \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB} 

AC

AM

​ 

 = 

AB

AN

​ 

 .

\Rightarrow \Delta AMN \sim \Delta ACB⇒ΔAMN∼ΔACB (c.g.c).

\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{ACB}⇒ 

AMN

 = 

ACB

 .

Suy ra BMNCBMNC là tứ giác nội tiếp.

c.

Tam giác ABCABC vuông tại AA có II là trung điểm của BC \Rightarrow IA = IB = ICBC⇒IA=IB=IC.

\Rightarrow \Delta IAC⇒ΔIAC cân tại I \Rightarrow \widehat{IAC} = \widehat{ICA}I⇒ 

IAC

 = 

ICA

 .

Theo câu b ta có \widehat{AMN} = \widehat{ACB} \Rightarrow \widehat{IAC} = \widehat{AMN} 

AMN

 = 

ACB

 ⇒ 

IAC

 = 

AMN

 .

Mà \widehat{BAD} + \widehat{IAC} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{BAD} + \widehat{AMN} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{ADM} = 90^{\circ} 

BAD

 + 

IAC

 =90 

∘

 ⇒ 

BAD

 + 

AMN

 =90 

∘

 ⇒ 

ADM

 =90 

∘

 .

Ta chứng minh \Delta ABCΔABC vuông tại AA có AH \perp BC \Rightarrow AH^2 = BH.CHAH⊥BC⇒AH 

2

 =BH.CH.

Mà BC = BH + CH \Rightarrow \dfrac1{AD} = \dfrac{BH+CH}{BH.CH} \Rightarrow \dfrac 1{AD} = \dfrac1{HB} + \dfrac1{HC}.BC=BH+CH⇒ 

AD

1

​ 

 = 

BH.CH

BH+CH

​ 

 ⇒ 

AD

1

​ 

 = 

HB

1

​ 

 + 

HC

1

​ 

 .

a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BA
N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC và MN=BC/2

=>MN=BE và MN//BE

=>BMNE là hình bình hành

b: Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên HM=AM

=>M nằm trên đường trung trực của AH(1)

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HN là đường trung tuyến

nên HN=AC/2=AN

=>N nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN là đường trung trực của AH

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

E là trung điểm của BC

Do đó: ME là đường trung bình

=>ME=AC/2

mà HN=AC/2

nên ME=HN

Xét tứ giác MNEH có MN//EH

nên MNEH là hình thang

mà ME=NH

nên MNEH là hình thang cân

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)