Question

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Gọi M và N là hình chiếu của H lên cạnh AB và AC. Chứng minh rằng: AB.AM = AC.AN

Answer 1

+Xét tứ giác ANHM:

AMH^ = 90o (HM _|_ AB)

ANH^ = 90o (HN _|_ AC)

=> AMH^ + ANH^ = 180o => tứ giác ANHM nội tiếp

+ Ta có: AMN^ = AHN^ (cùng chắn cung AN của (ANHM))

AHN^ = ACB^ (cùng phụ HNC^)

=> AMN^ = ACB^

+Xét tam giác AMN và tam giác ACB:

A^ chung (gt);

AMN^ = ACB^ (cmt)

=> tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB (g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AB\cdot AM=AN\cdot AC\left(đpcm\right)\)