BPT có tập nghiệm là R khi và chỉ khi:

\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4m^3\le0\)

\(\Leftrightarrow-4m^3+m^2+2m+1\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right)\left(4m^2+3m+1\right)\le0\) (1)

Do \(4m^2+3m+1=4\left(m+\dfrac{3}{8}\right)^2+\dfrac{7}{16}>0;\forall m\)

Nên (1) tương đương: \(1-m\le0\Rightarrow m\ge1\)

3:

x^2-2x+1-m^2<=0

=>(x-1)^2-m^2<=0

=>(x-1)^2<=m^2

=>-m<=x-1<=m

=>-m+1<=x<=m+1

mà x thuộc [-1;2]

nên -m+1>=-1 và m+1<=2

=>-m>=-2 và m<=1

=>m<=2 và m<=1

=>m<=1

\(f\left(x-3\right)+5-m>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+5-m>0\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+14-m>0\)

BPT có tập nghiệm là R khi:

\(\Delta'=9-\left(14-m\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow m< 5\)

a.

Pt có 2 nghiệm pb khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(m+1\right)\left(-m+2\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\2m^2+7m+7>0\left(\text{luôn đúng}\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow m\ne-1\)

b.

BPT vô nghiệm khi \(\left(m^2-4m-5\right)x^2+2\left(m-5\right)-1< 0\) nghiệm đúng với mọi x

- Với \(m=-1\) ko thỏa mãn

- Với \(m=5\) thỏa mãn

- Với \(m\ne\left\{-1;5\right\}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4m-5< 0\\\Delta'=\left(m-5\right)^2+m^2-4m-5< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< m< 5\\\left(m-5\right)\left(2m-4\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< m< 5\\2< m< 5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2< m< 5\)

Kết hợp lại ta được: \(2< m\le5\)

\(x^2+2mx-2m+3>=0\)(1)

\(\text{Δ}=\left(2m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m+3\right)\)

\(=4m^2+8m-12\)

\(=4\left(m^2+2m-3\right)=4\left(m+3\right)\left(m-1\right)\)

Để bất phương trình (1) đúng với mọi x thuộc R thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4\left(m+3\right)\left(m-1\right)< =0\\1>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left(m+3\right)\left(m-1\right)< =0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+3>0\\m-1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-3\\m< 1\end{matrix}\right.\)

=>-3<m<1

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+3< 0\\m-1>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< -3\\m>1\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\varnothing\)

Với $m=-1$ thì PT $f\left(x\right)=0$ có nghiệm $x=1$ (chọn)

Với $m\ne -1$ thì $f\left(x\right)$ là đa thức bậc 2 ẩn $x$

$f\left(x\right)=0$ có nghiệm khi mà ${}^{}={}^{}-2m(m+1)\ge 0$

$\iff -{}^{}-2m\ge 0\iff m(m+2)\le 0$

$\iff -2\le m\le 0$

Tóm lại để $f\left(x\right)=0$ có nghiệm thì $m\in [-2;0]$

1: \(\text{Δ}=\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m+1\right)\)

=1+4m-4

=4m-3

Để phương trình có nghiệm kép thì 4m-3=0

hay m=3/4

Thay m=3/4 vào pt, ta được: \(x^2-x+\dfrac{1}{4}=0\)

hay x=1/2

2: Để phương trình có hai nghiệm thì 4m-3>=0

hay m>=3/4

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x_1+x_2=5\\x_1+x_2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=4\\x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có: \(x_1x_2=-m+1\)

=>1-m=-12

hay m=13

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(m^2-m+1\right)\)

=4m^2-4m^2+4m-4=4m-4

Để (1) có 2 nghiệm thì 4m-4>=0

=>m>=1

\(a,x^2-\left(2m-3\right)x+m^2=0-vô-ngo\)

\(\Leftrightarrow\Delta< 0\Leftrightarrow[-\left(2m-3\right)]^2-4m^2< 0\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{4}\)

\(b,\left(m-1\right)x^2-2mx+m-2=0\)

\(m-1=0\Leftrightarrow m=1\Rightarrow-2x-1=0\Leftrightarrow x=-0,5\left(ktm\right)\)

\(m-1\ne0\Leftrightarrow m\ne1\Rightarrow\Delta'< 0\Leftrightarrow\left(-m\right)^2-\left(m-2\right)\left(m-1\right)< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{2}{3}\)

\(c,\left(2-m\right)x^2-2\left(m+1\right)x+4-m=0\)

\(2-m=0\Leftrightarrow m=2\Rightarrow-6x+2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\left(ktm\right)\)

\(2-m\ne0\Leftrightarrow m\ne2\Rightarrow\Delta'< 0\Leftrightarrow[-\left(m+1\right)]^2-\left(4-m\right)\left(2-m\right)< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{7}{8}\)