mk chỉnh lại đề: Cho tam giác ABC nhọn đường cao BE, CF.....

a)   Xét  \(\Delta ABE\)và    \(\Delta ACF\) có:

       \(\widehat{A}\) chung

      \(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^0\)

suy ra:   \(\Delta ABE~\Delta ACF\)(g.g)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\)

\(\Rightarrow\)\(AB.AF=AE.AC\)

b)  \(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\) (câu a)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}\)

Xét  \(\Delta ABC\)và    \(\Delta AEF\)có:

      \(\widehat{A}\)chung

   \(\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}\)

suy ra:   \(\Delta ABC~\Delta AEF\)(c.g.c)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{ACB}=\widehat{AFE}\)

Phần c) trước hết ta chứng minh HD là phân giác của \(\widehat{FID}\)

Xét \(\Delta DBH\)và \(\Delta EBC\)có

\(\widehat{BDH}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{CBE}\)chung

\(\Delta DBH\approx\Delta EBC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{BD}{BE}=\frac{BH}{BC}\)(2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Rightarrow\frac{BD}{BH}=\frac{BE}{BC}\)(tính chất của tỉ lệ thức) 

Xét \(\Delta BDE\)và \(\Delta BHC\)có:

\(\widehat{CBE}\)chung

\(\frac{BD}{BH}=\frac{BE}{BC}\)(chứng minh trên)

\(\Delta BDE\approx\Delta BHC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{BCH}\)(2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{BCF}\)

Ta có:

 \(\widehat{BED}+\widehat{DEC}=90^0\left(=\widehat{BEC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BCF}+\widehat{DEC}=90^0\)

Và vì \(\Delta FBC\)vuông tại F

\(\Rightarrow\widehat{BCF}+\widehat{FBC}=90^0\)(vì phu nhau)

Do đó :\(\widehat{DEC}=\widehat{FBC}\)(cùng phụ với \(\widehat{BCF}\))

\(\Rightarrow\widehat{DEC}=\widehat{FBD}\)

Chứng minh tương tự, ta được: \(\widehat{BFD}=\widehat{ECD}\)

Xét \(\Delta BFD\)và \(\Delta ECD\)có:

\(\widehat{BFD}=\widehat{ECD}\)(chứng minh trên)

\(\widehat{FBD}=\widehat{CED}\)(chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta BFD\approx\Delta ECD\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BDF}=\widehat{EDC}\)(2 góc tương ứng)

Ta có:

\(\widehat{BDF}+\widehat{ADF}=90^0\left(=\widehat{BDA}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EDC}+\widehat{ADF}=90^0\)

Và \(\widehat{CDE}+\widehat{EDA}=90^0\left(=\widehat{CDA}\right)\)

Do đó: \(\widehat{ADF}=\widehat{EDA}\)

\(\Rightarrow\widehat{HDF}=\widehat{HDI}\)(với \(H\in FI\)hay \(H\in FC\))

\(\Rightarrow DH\)là phân giác của \(\widehat{FDI}\)(1)

Xét \(\Delta FDI\)có (1)

\(\Rightarrow\frac{HI}{FH}=\frac{DI}{DF}\)(tính chất) (2)

Ta có: \(AD\perp BC\Rightarrow HD\perp CD\)

Do đó \(CD\)là phân giác ngoài của \(\widehat{FDI}\)(với C là giao điểm của CD và FI) (3)

Xét \(\Delta FDI\)có (3)

\(\Rightarrow\frac{CI}{CF}=\frac{DI}{FD}\)(tính chất) (4)

Từ (2) và (4)

\(\Rightarrow\frac{HI}{FH}=\frac{CI}{CF}\left(=\frac{DI}{DF}\right)\)

\(\Rightarrow HI.CF=FH.CI\)(điều phai chứng minh).

Bài 1:

a) xét tg ABE và tg ACF có:

AEB = AFC = 90 độ

BAE = CÀ( A chung )

=> tg ABE = tg ACF ( g.g)

=> AF/AB = AE/AC

=> AE*AC = AF*AB

a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{FAC}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)

b) Ta có: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(cmt)

nên \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)

Ta có: \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)(cmt)

nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có 

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(c-g-c)