Cách ngắn ngọn nhất:

⇔[x=2x=2m⇔[�=2�=2�

Phương trình (1) có 2 nghiệm là . Mặt khác phương trình (1) cũng có 2 nghiệm là x₁, x₂ nên ta chia làm 2 trường hợp:

TH₁: .

Có 

TH₂: 

Có 

Vậy m=0 hay m=3

\(x^2-2\left(m+4\right)x+m^2+8m-9=0\left(1\right)\)

Ta giải \(\Delta=[-2\left(m+4\right)]^2-4\left(m^2+8m-9\right)=100>0\forall m\)

suy ra pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\forall m\).

Ta có: \(x_1=m-1\), \(x_2=m+1\) (thay \(\Delta\) vào công thức tìm nghiệm phân biệt).

Gọi \(A=\dfrac{x_1^2+x_2^2-48}{x_1^2+x_2^2}\).

\(\Rightarrow A=1-\dfrac{48}{x_1^2+x_2^2}=1-\dfrac{48}{\left(m-1\right)^2+\left(m+1\right)^2}=1-\dfrac{24}{m^2+1}\).

Để biểu thức A nguyên thì \(\dfrac{24}{m^2+1}\) nguyên, suy ra \(m^2+1\inƯ\left(24\right)\).

\(\Rightarrow m^2+1\in\left\{1;2;4;6;8;12;24\right\}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{0;\pm1\right\}\) (vì m nhận giá trị nguyên)

Vậy \(m\in\left\{0;\pm1\right\}\) là giá trị cần tìm.

Mình chỉnh sửa lại một chút nhé.

\(A=1-\dfrac{24}{m^2+2}\)

\(\Rightarrow...\)\(\Rightarrow\)\(m^2+2\in\left\{1;2;3;4;6;8;12;24\right\}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{0;\pm1;\pm2\right\}\)

Vậy...

\(\Delta=\left[-\left(m+3\right)\right]^2-4\left(2m+2\right)\\ =m^2+6m+9-8m-8\\ =m^2-2m+1\\ =\left(m-1\right)^2\)

de pt co 2 no pb thi Δ >0 

<=> (m-1)^2>0

ma \(\left(m-1\right)^2\ge0\forall m\\ \Rightarrow\left(m-1\right)^2\ne0\\ \Leftrightarrow m\ne1\)

Viet: \(x1+x2=m+3\\ x1x2=2m+2\)

0<x1<x2<2\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< x1+x2< 4\\0< x1x1< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< m+3< 4\\0< 2m+2< 4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3< m< 1\\-1< m< 1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow-1< m< 1\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0,\forall m\inℝ\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1+x_2\). 

Theo định lí Viete: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{cases}}\)

\(P=\left|\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\left|x_1-x_2\right|}=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}}\)

\(=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-3\right)}}=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{4m^2+16}}=\frac{\left|m+1\right|}{\sqrt{m^2+4}}\ge0\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(m=-1\). 

\(x^2-x+1-m=0\)

Theo Vi - ét, ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=1-m\end{matrix}\right.\)

Ta có :

\(5\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)-x_1x_2+4=0\)

\(\Leftrightarrow5\left(\dfrac{x_2+x_1}{x_1x_2}\right)-x_1x_2+4=0\)

\(\Leftrightarrow5\left(\dfrac{1}{1-m}\right)-\left(1-m\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{1-m}-1+m+4=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{1-m}+m+3=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5+m\left(1-m\right)+3\left(1-m\right)}{1-m}=0\)

\(\Leftrightarrow5+m-m^2+3-3m=0\)

\(\Leftrightarrow-m^2-2m+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\m=-4\end{matrix}\right.\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0\) ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(P=\left|\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|\ge0\)

\(\Rightarrow P_{min}=0\) khi \(x_1+x_2=0\Leftrightarrow m=-1\)

Đề là yêu cầu tìm max hay min nhỉ? Min thế này thì có vẻ là quá dễ

Đăng lại lớp đi chụy :)

\(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(m-1\right)=1-m+1=2-m\)

Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow2-m\ge0\Leftrightarrow m\le2\)

Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x^4_1-x^3_1=x^4_2-x^3_2\\ \Leftrightarrow\left(x^4_1-x_2^4\right)-\left(x^3_1+x^3_2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2_1-x^2_2\right)\left(x^2_1+x^2_2\right)-\left(x_1+x_2\right)\left(x^2_1+x^2_2-x_1x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]=0\\ \Leftrightarrow\left(m-1\right).2\left[2^2-2\left(m-1\right)\right]-2\left[2^2-3\left(m-1\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)\left(4-2m+2\right)-2\left(4-3m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)\left(6-2m\right)-2\left(7-3m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

\(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(m-1\right)=1-m+1=2-m\)

Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow2-m\ge0\Leftrightarrow m\le2\)

Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x^4_1-x^3_1=x^4_2-x^3_2\\ \Leftrightarrow\left(x^4_1-x_2^4\right)-\left(x^3_1-x^3_2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2_1-x^2_2\right)\left(x^2_1+x^2_2\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(x^2_1+x^2_2+x_1x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right).2\left(4-2m+2\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(4-m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right).2\left(6-2m\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(5-m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(12-4m-5+m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(7-3m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

Đặt \(t=log_3x\).

Phương trình ban đầu trở thành: \(t^2-mt+2m-7=0\) (*)

\(t_1+t_2=log_3\left(x_1x_2\right)=log_381=4\)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thoả \(x_1x_2=81\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm \(t_1,t_2\) thoả \(t_1+t_2=4\):

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\m=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4\left(2m-7\right)\ge0\\m=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=4\)

Đoạn cuối mình làm sai:

\(\dfrac{3m-7}{m-1}< 1\Leftrightarrow\dfrac{2m-6}{m-1}< 0\Leftrightarrow1< m< 3\).

Nếu vậy thì đáp án đúng là A.

Để pt có 2 nghiệm thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m-3\right)\left(m-1\right)=1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\ne1\).

Khi đó theo hệ thức Viète: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-2\right)}{m-1}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m-1}\end{matrix}\right.\).

Do đó \(x_1+x_2+x_1x_2< 1\Leftrightarrow\dfrac{2\left(m-2\right)+\left(m-3\right)}{m-1}< 1\Leftrightarrow\dfrac{3m-7}{m-1}< 1\Leftrightarrow3m-7< m-1\Leftrightarrow2m< 6\Leftrightarrow m< 3\).

Vậy m là các số thoả mãn m < 3 và m khác 1.