Xét ΔAIE vuông tại I và ΔAIH vuông tại I có

AH chung

IE=IH

Do đó: ΔAIE=ΔAIH

Xét ΔAHF có

AK là đường cao

AK là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHF cân tại A

=>AH=AF

Ta có: ΔAEI=ΔAHI

=>AE=AH và \(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\)

Ta có: AE=AH

AH=AF

Do đó: AE=AF

Ta có: \(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\)

mà AI nằm giữa AE,AH

nên AI là phân giác của góc EAH

=>\(\widehat{EAH}=2\cdot\widehat{IAH}\)

Ta có; ΔAHF cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là phân giác của góc HAF

=>\(\widehat{HAF}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Ta có: \(\widehat{EAF}=\widehat{EAH}+\widehat{FAH}\)

\(=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

\(=2\cdot\widehat{BAC}=2\cdot45^0=90^0\)

a: Xét ΔAIE vuông tại I và ΔAIH vuông tại I có

AH chung

IE=IH

Do đó: ΔAIE=ΔAIH

b: Xét ΔAHF có

AK là đường cao

AK là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHF cân tại A

=>AH=AF

Ta có: ΔAEI=ΔAHI

=>AE=AH và \(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\)

Ta có: AE=AH

AH=AF

Do đó: AE=AF

c: Ta có: \(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\)

mà AI nằm giữa AE,AH

nên AI là phân giác của góc EAH

=>\(\widehat{EAH}=2\cdot\widehat{IAH}\)

Ta có; ΔAHF cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là phân giác của góc HAF

=>\(\widehat{HAF}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Ta có: \(\widehat{EAF}=\widehat{EAH}+\widehat{FAH}\)

\(=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

\(=2\cdot\widehat{BAC}=2\cdot45^0=90^0\)

a: Xét ΔAHE có

AB vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔAHE cân tại A

=>AB là phân giác của góc HAE và AE=AH

Xét ΔAHF có

AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔAHF cân tại A

=>AC là phân giác của góc HAF và AH=AF

=>AE=AF

Xét ΔAHM và ΔAEM có

AH=AE
góc HAM=góc EAM

AM chung

=>ΔAHM=ΔAEM

=>góc AHM=góc AEM

Xét ΔAHN và ΔAFN có

AH=AF

góc HAN=góc FAN

AN chung

=>ΔAHN=ΔAFN

=>góc AHN=góc AFN

=>góc AHN=góc AHM

=>HA là phân giác của góc MHN

b: Xét ΔHEF có HI/HE=HK/HF

nên IK//EF

=>IK//MN

a: Xét ΔAHE có 

AI là đường cao

AI là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHE cân tại A

Suy ra: AE=AH(1)

Xét ΔAHF có 

AK là đường cao

AK là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHF cân tại A

Suy ra: AF=AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra AF=AE

a, Vì AI là đg cao và trung tuyến tg AHE nên tg AHE cân tại A \(\Rightarrow AE=AH\)

Vì AK là đg cao và trung tuyến tg AHF nên tg AHF cân tại A \(\Rightarrow AF=AH\)

Vậy \(AE=AF\)

b, Vì AI, AK là đg cao của 2 tg cân nên chúng cũng là phân giác của 2 tg đó

\(\Rightarrow\widehat{EAF}=\widehat{EAH}+\widehat{HAF}=2\left(\widehat{KAH}+\widehat{IAH}\right)=2\cdot\widehat{BAC}=120^0\)

Vì \(AE=AF\) nên tg AEF cân tại A

Vậy \(\widehat{AEF}=\widehat{AFE}=\dfrac{180^0-\widehat{EAF}}{2}=30^0\)

a, xét tam giác AIE và tam giác AIH có : AI chung

IE = IH (Gt)

^AIE = ^AIH = 90

=> tam giác AIE = tam giác AIH (2cgv)

=> AE = AH (đn)                                   (1)

xét tam giác AHK và tam giác AFK có : AK chung

HK = KF (gt)

^AKH = ^AKF = 90

=> tam giác AHK = tam giác AFK (2cgv)

=> AH = AF (đn) và (1)

=> AE = AF 

=> tam giác AEF cân tại A (đn)

b, xét tam giác ABE và tam giác ABH có : AB chung

AE = AH (câu a)

^EAB = ^HAB do tam giác AIE = tam giác AIH (câu a)

=> tam giác ABE = tam giác ABH (c-g-c)

=> ^AEB = ^AHB (đn) mà ^AHB = 90

=> ^AEB = 90

=> AE _|_ BE (đn)

c,  xét tam giác KFC và tam giác KHC có : KC chung

HK = KF (gt)

^HKC = ^FKC = 90

=> tam giác KFC =  tam giác HKC (2cgv)

=> CF = CH (đn)

d, xét tam giác AEM và tam giác AHM có : AM chung

AE = AH (câu a)

^EAM = ^HAM (câu b)

=> tam giác AEM = tam giác AHM (c-g-c)

=> ^AEM = ^AHM (đn)                       (2)

xét tam giác AHN và tam giác AFN có : AN chung

AH = HF (Câu a)

^HAN = ^FAN do tam giác HAK = tam giác FAK (Câu a)

=> tam giác AHN = tam giác AFN (c-g-c) 

=> ^AHN = ^AFN (đn)                      (3)

tam giác AEF cân tại A (câu a) => ^AEM = ^AFN (tc)         và (2)(3)

=> ^MHA = ^NHA mà HA nằm giữa HM và HN 

=> HA là pg của ^MHN (đn)

Em vừa nghĩ ra 2 cách làm bằng kiến thức lớp 7, co check giùm em nhé!

Ta có: \(\widehat{CAD}=90^0-\widehat{DAB}\)

và \(\widehat{CDA}=90^0-\widehat{HAD}\)

Mà \(\widehat{DAB}=\widehat{HAD}\left(gt\right)\Rightarrow AC=DC\)

Tương tự ta có: AB = EB

\(\Rightarrow AB+AC=EB+DC\)

\(=ED+DB+DC=DE+BC\)

\(\Rightarrow DE=AB+AC-BC=3+4-5=2\left(cm\right)\)

Vậy DE = 2 cm

Ta có: \(\Delta\)ABC vuông tại A

=> BC\(^2\)=AB\(^2\)+ AC\(^2\)= 3\(^2\)+ 4\(^2\)=  25 => BC = 5 (cm)

Có: \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}=\frac{25}{144}\)

=> AH = 2,4  (cm)

Có: \(CH=\frac{AC^2}{BC}=\frac{4^2}{5}=3,2\)(cm)

=> BH = 5 - 3,2 = 1,8 ( cm )

AE là phân giác ^CAH => \(\frac{EC}{EH}=\frac{AC}{AH}=\frac{4}{2,4}\) mà EC + EH = CH = 3,2 

=> EC = 2 ( cm ) ; EH = 1,2 ( cm )

AD là phân giác ^BAH  => \(\frac{DH}{DB}=\frac{AH}{AB}=\frac{2,4}{3}\); mà DH + DB = HB = 1,8 

=> DH = 0,8 ( cm ) ; BD = 1( cm )

Vậy DE = DH + HE = 0,8 + 1,2 = 2 ( cm )