CÁC BẠN ƠI GIẢI NHANH MK VS ĐANG CẦN GẤP

cái này bạn áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ số 1
(x-y)^2+(x^3-y^2)^2+6xy=36+(y^2-x^3)^2

(x^2 + y^2 - 2xy) + (x^6 + y^4 - 2x^3*y^2) + 6xy = 36 + (y^4 + x^6 - 2x^3*y^2)   (Vì nó bằng nên lược bớt)

x^2 + y^2 - 2xy + 6xy = 36

x^2 + y^2 + 4xy = 36

x^2 + y^2 + 2xy + 2xy = 36

(x + y)^2 + 2xy = 36

x=2               y=2

vì x,y>0

p/4=x^2+y^2/x^2+y^2-xy

đặt x/y=a>0

p/4=a^2+1/a^2-a+1 suy ra P(a^2-a+1=4(a^2+1) suy ra a^2(P-4)-Pa+P-4=0

ta có P^2-4(P-4)^2_>0 suy ra 8/3_< P_<8

ak dấu _< là lớn hơn hoặc bằng nha

k mk nữa

Bài này hơi căng đấy, theo cách tao nhã nào đó, nó có thể là một bề dày không hoen ố. 

Dễ dàng chứng minh được bđt sau:

\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) \(\left(i\right)\)

Thật vậy, áp dụng bđt  \(B.C.S\) cho bộ số bao gồm  \(\left(1;1\right)\)  và  \(\left(x^2;y^2\right)\)  ta được:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) 

\(\Rightarrow\)  \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

Hay nói cách khác,  \(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi  \(x=y\)

Vậy, bđt đã cho được chứng minh!

Theo như cách đề bài đã chọn, để biểu thức  \(A\)  có giá trị lớn nhất thì  \(\frac{1}{A}\) phải đạt giá trị nhỏ nhất hay ta phải tìm  \(P_{min}\)(với  \(P=\frac{1}{A}\)\(\Rightarrow\) \(P\in Z^+\))

Ta có:  \(P=\frac{x+y+2}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy}\)

Lại có:  \(4=x^2+y^2\ge2xy\)  \(\Rightarrow\)  \(2\ge xy\)  (theo bđt Cauchy cho hai số  \(x^2,y^2\)  không âm)

nên  \(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1\)

Mặt khác, tiếp tục áp dụng bđt  \(Cauchy-Schwarz\)  dạng  \(Engel\)  cho bộ số gồm  \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\right)\)  đối với  \(P,\)ta có:

\(P\ge\frac{4}{x+y}+1\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}+1=\frac{4}{\sqrt{2.4}}+1=\sqrt{2}+1\) (theo bđt  \(\left(i\right)\)  )

Do đó,  \(P_{min}=\sqrt{2}+1\)  tức là  \(\frac{1}{A}\)  đạt giá trị nhỏ nhất là  \(\sqrt{2}+1\)

Vậy, dễ dàng suy ra được  \(A_{max}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x^2+y^2=4\\x=y\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(x=y=\sqrt{2}\)

\(3=x+y+xy\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{x^2+y^2}{2}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^2+y^2}+3\sqrt{2}\right)\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\)

\(\Rightarrow-\left(x^2+y^2\right)\le-2\)

\(P=\sqrt{9-x^2}+\sqrt{9-y^2}+\dfrac{x+y}{4}\le\sqrt{2\left(9-x^2+9-y^2\right)}+\dfrac{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{4}\)

\(P\le\sqrt{2\left(18-x^2-y^2\right)}+\dfrac{1}{4}.\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)

\(P\le\left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{18-x^2-y^2}+\sqrt[]{2}\sqrt{\dfrac{\left(18-x^2-y^2\right)}{2}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\)

\(P\le\left(\sqrt{2}-1\right).\sqrt{18-2}+\sqrt{\left(2+\dfrac{1}{4}\right)\left(\dfrac{18-x^2-y^2+x^2+y^2}{2}\right)}=\dfrac{1+8\sqrt{2}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

a) \(6xy+4x-9y-7=0\)

  \(\Leftrightarrow2x.\left(3y+2\right)-9y-6-1=0\)

\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+x\right)-3.\left(3y+2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right).\left(3y+2\right)=1\)

Mà \(x,y\in Z\Rightarrow2x-3;3y+2\in Z\)

Tự làm típ

\(A=x^3+y^3+xy\)

\(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)

\(A=x^2-xy+y^2+xy\)( vì \(x+y=1\))

\(A=x^2+y^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovxky ta có :

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2=\left(x+y\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

Hay \(x^3+y^3+xy\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

LOADING...

\(x\ge xy+1\Rightarrow1\ge y+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{x}}\Rightarrow\dfrac{y}{x}\le\dfrac{1}{4}\)

\(Q^2=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{3x^2-xy+y^2}=\dfrac{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2+2\left(\dfrac{y}{x}\right)+1}{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-\dfrac{y}{x}+3}\)

Đặt \(\dfrac{y}{x}=t\le\dfrac{1}{4}\) 

\(Q^2=\dfrac{t^2+2t+1}{t^2-t+3}=\dfrac{t^2+2t+1}{t^2-t+3}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{5}{9}\)

\(Q^2=\dfrac{\left(4t-1\right)\left(t+6\right)}{9\left(t^2-t+3\right)}+\dfrac{5}{9}\le\dfrac{5}{9}\)

\(\Rightarrow Q_{max}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) khi \(t=\dfrac{1}{4}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(2;\dfrac{1}{2}\right)\)

có: \(\dfrac{1}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\dfrac{1}{1-2xy}\)(1)

có \(\dfrac{1}{xy}=\dfrac{2}{2xy}\left(2\right)\)

từ(1)(2)=>A=\(\dfrac{1}{1-2xy}+\dfrac{2}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)

=>Min A=(1+\(\sqrt{2}\))^2

b, ta có : \(x+y=1=>2x+2y=2\)

\(B=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{4xy}=\dfrac{4}{4x^2+4y^2}+\dfrac{6}{8xy}\)\(\ge\dfrac{\left(2+\sqrt{6}\right)^2}{\left(2x+2y\right)^2}\)

\(=\dfrac{\left(2+\sqrt{6}\right)^2}{2^2}=\dfrac{5+2\sqrt{6}}{2}\)=>\(B\ge\dfrac{5+2\sqrt{6}}{2}\)

=>\(MinB=\dfrac{5+2\sqrt{6}}{2}\)