Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoàng Anh Thắng

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+y+xy=3 tìm các giá trị lớn nhất của biểu thức 

\(P=\sqrt{9-x^2}+\sqrt{9-y^2}+\dfrac{x+y}{4}\)

Nguyễn Việt Lâm
20 tháng 3 2022 lúc 21:52

\(3=x+y+xy\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{x^2+y^2}{2}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^2+y^2}+3\sqrt{2}\right)\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\)

\(\Rightarrow-\left(x^2+y^2\right)\le-2\)

\(P=\sqrt{9-x^2}+\sqrt{9-y^2}+\dfrac{x+y}{4}\le\sqrt{2\left(9-x^2+9-y^2\right)}+\dfrac{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{4}\)

\(P\le\sqrt{2\left(18-x^2-y^2\right)}+\dfrac{1}{4}.\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)

\(P\le\left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{18-x^2-y^2}+\sqrt[]{2}\sqrt{\dfrac{\left(18-x^2-y^2\right)}{2}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\)

\(P\le\left(\sqrt{2}-1\right).\sqrt{18-2}+\sqrt{\left(2+\dfrac{1}{4}\right)\left(\dfrac{18-x^2-y^2+x^2+y^2}{2}\right)}=\dfrac{1+8\sqrt{2}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Đức Lâm
Xem chi tiết
Bảo Ngọc Hoàng
Xem chi tiết
Vô Danh
Xem chi tiết
Ngọc Ngô
Xem chi tiết
Trang Đỗ Mỹ
Xem chi tiết
Trần Trang
Xem chi tiết
Diệp Nguyễn Thị Huyền
Xem chi tiết
Vô Danh
Xem chi tiết
Anh Quân Võ
Xem chi tiết