Ta có: \begin{aligned} (x-y)^2+(x^3+y^2)+7xy & = 49+(y^2-x^3)^2 \ \Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^3+y^2+7xy & = 49+y^4-2y^2x^3+x^6 \ \Leftrightarrow x^2+x^3+3xy+y^2 & = y^4+(x^3-3xy)^2+49 \end{aligned} Chú ý rằng $(x^3-3xy)^2\geqslant 0$ nên: \begin{aligned} y^4+(x^3-3xy)^2+49 & \geqslant 49 \ \Rightarrow x^3+x^2+3xy+y^2 & \geqslant 49 \end{aligned} Từ đó, ta có: A = xy = \dfrac{1}{2}[(x-y)^2+x^2+y^2]\leqslant \dfrac{1}{2}[2x^2+2y^2]=x^2+y^2 Do đó, ta có: $A\leqslant x^2+y^2\leqslant\dfrac{(x^3+x^2+3xy+y^2)+(y^4+(x^3-3xy)^2+49)}{2}=49$ Vậy $A\leqslant 49$ và $A=49$ đạt được khi và chỉ khi $(x, y)=(-3, -4)$ hoặc $(x, y)=(4, 3)$.
