Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Minh Đức

Cho x,y là hai số thực thỏa mãn điều kiện \(x^2+y^2+xy+4=4y+3x\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=3\left(x^3-y^3\right)+20x^2+2xy+5y^2+39x\).

Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 8 2020 lúc 21:52

\(x^2+\left(y-3\right)x+y^2-4y+4=0\)

\(\Delta=\left(y-3\right)^2-4\left(y^2-4y+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3y^2+10y-7\ge0\Rightarrow1\le y\le\frac{7}{3}\)

\(y^2+\left(x-4\right)y+x^2-3x+4=0\)

\(\Delta=\left(x-4\right)^2-4\left(x^2-3x+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3x^2+4x\ge0\Rightarrow0\le x\le\frac{4}{3}\)

Mặt khác ta có:

\(P=3x^3-3y^3+20x^2+5y^2+39x+2\left(-x^2-y^2+4y+3x-4\right)\)

\(P=\left(3x^3+18x^2+45x\right)+\left(-3y^3+3y^2+8y-8\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=3x^3+18x^2+45x\) trên \(\left[0;\frac{4}{3}\right]\)

\(f'\left(x\right)=9x^2+36x+45>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{892}{9}\)

Xét \(f\left(y\right)=-3y^3+3y^2+8y-8\) trên \(\left[1;\frac{7}{3}\right]\)

\(f'\left(y\right)=-9y^2+6y+8=0\Rightarrow y=\frac{4}{3}\)

\(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{9}\) ; \(f\left(\frac{7}{3}\right)=-\frac{100}{9}\)

\(\Rightarrow f\left(y\right)_{max}=f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{9}\Rightarrow f\left(y\right)\le\frac{8}{9}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{892}{9}+\frac{8}{9}=100\)


Các câu hỏi tương tự
Võ Đăng Khoa
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Đức
Xem chi tiết
erosennin
Xem chi tiết
VUX NA
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Đức
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Đức
Xem chi tiết
Hiền Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Đức
Xem chi tiết
erosennin
Xem chi tiết