cho biểu thức: P=\([\dfrac{a+3\sqrt{a}+2}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+1)}-\dfrac{a+\sqrt{a}}{a-1}]:[\dfrac{1}{\sqrt{a}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}]\)
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm a để\(\dfrac{1}{P}-\dfrac{\sqrt{a}+1}{8}\ge1\)
rút gọn biểu thức a
A= \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\)
a/ rút gọn A
b/ tìm giá trị để A dương
a: \(A=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{a-1-a+4}\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\)
\(ĐK:a>0;a\ne1;a\ne4\\ a,A=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{a-1-a+4}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{3}=\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\\ b,A>0\Leftrightarrow\sqrt{a}-2>0\Leftrightarrow a>4\)
1.Cho biểu thức Q=\(\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)\): \(\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\)a) Rút gọn Q với a>0, a\(\ne4,a\ne\)1b) Tìm giá trị của a để Q dương2.Cho biểu thức P=\(\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2}{x-1}\right)\)a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn Pb) Tìm các giá trị của x để P<0c) Tính giá trị của P khi \(x=4-2\sqrt{3}\)
Bài 1:
a) Ta có: \(Q=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\)
\(=\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}-\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\left(\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right)\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{a-1-a+4}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{3}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{3}\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\)
b) Để Q dương thì \(\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}>0\)
mà \(3\sqrt{a}>0\forall a\) thỏa mãn ĐKXĐ
nên \(\sqrt{a}-2>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}>2\)
hay a>4
Kết hợp ĐKXĐ,ta được: a>4
Vậy: Để Q dương thì a>4
Cho biểu thức A= \(\left(\dfrac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right).\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
P = \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tìm các giá trị để \(\dfrac{P}{A}\left(x-1\right)=0\)
\(a,A=\left(\dfrac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\left(x>0;x\ne1\right)\\ A=\dfrac{x-2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\\ A=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(b,\dfrac{P}{A}\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)=0\\ \Leftrightarrow x=0\left(\sqrt{x}+1>0\right)\)
a) \(A=\left(\dfrac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right).\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\left(đk:x>0,x\ne1\right)\)
\(=\dfrac{x-2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
b) \(\dfrac{P}{A}\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}:\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}.\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=0\)( do \(\sqrt{x}+1\ge1>0\))(không thỏa đk)
Vậy \(S=\varnothing\)
Cho biểu thức \(M=(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}):(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1})\) ( với a>0; a \(\ne\) 1, a \(\ne\) 4)
a. Rút gọn M
b. Tìm a để M<\(\dfrac{1}{6}\)
\(a,M=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{a-1-a+4}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}\\ M=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{3}=\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\\ b,M< \dfrac{1}{6}\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}-\dfrac{1}{6}< 0\\ \Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{a}-4-\sqrt{a}}{6\sqrt{a}}< 0\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{a}-4}{6\sqrt{a}}< 0\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}-4< 0\left(6\sqrt{a}>0\right)\\ \Leftrightarrow a< 16\\ \Leftrightarrow0< a< 16\left(kết.hợp.ĐKXĐ\right)\)
Cho biểu thức: Q= \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+2}\right)\)
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
b) Tìm a để Q dương.
c) Tính giá trị của biểu thức biết a= \(9-4\sqrt{5}\).
Sửa đề: \(Q=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+2}\right)\)
a) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\a\notin\left\{1;4\right\}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(Q=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+2}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{a+3\sqrt{a}+2-a+3\sqrt{a}-2}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{6\sqrt{a}}\)
\(=\dfrac{a-4}{6a\left(\sqrt{a}-1\right)}\)
c) Thay \(a=9-4\sqrt{5}\) vào Q, ta được:
\(Q=\dfrac{5-4\sqrt{5}}{6\left(9-4\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-3\right)}\)
\(=\dfrac{5-4\sqrt{5}}{6\left(9\sqrt{5}-27-20+12\sqrt{5}\right)}\)
\(=\dfrac{5-4\sqrt{5}}{6\left(21\sqrt{5}-47\right)}\)
\(=\dfrac{\left(5-4\sqrt{5}\right)\left(21\sqrt{5}+47\right)}{-24}\)
\(=\dfrac{105\sqrt{5}+235-420-188\sqrt{5}}{-24}\)
\(=\dfrac{-83\sqrt{5}-185}{-24}=\dfrac{83\sqrt{5}+185}{24}\)
Cho biểu thức P = \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}\) (với x>0; x\(\ne\)0)
a,Rút gọn biểu thức P và tìm x để P = \(\dfrac{-3}{5}\)
b,Tìm GTNN của biểu thức A=P . \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(a,P=\dfrac{\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{-2}{\sqrt{x}+2}\\ P=-\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{3}{5}\\ \Leftrightarrow3\sqrt{x}+6=10\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{9}\left(tm\right)\)
Bài 1 : Cho biểu thức A=(\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}})\):\(\dfrac{\sqrt{a}+1}{a-1}\) với a>0 , a≠1
a) Rút gọn b.thức A
b) Tìm các giá trị của a để A<0
Bài 2 : Rút gọn các b.thức :
A =\((\dfrac{3\sqrt{x}+6}{x-4}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}):\dfrac{x-9}{\sqrt{x}-3}\) với x ≥ 0 , x ≠ 4 , x ≠ 9
B = \(3\sqrt{8}-\sqrt{50}-\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}\)
C = \(\dfrac{2}{x-1}\times\sqrt{\dfrac{x^2-2x+1}{4x^2}}\) với 0 < x < 1
D = \((\dfrac{1-a\sqrt{a
}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a})(\dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a})^2\) với a ≥ 0 , a ≠ 1
( giúp hộ em với ạ , em đang cần gấp ạ )
Cho biểu thức: A= \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-3}+\dfrac{1}{\sqrt{a}+3}\right)\left(1-\dfrac{3}{\sqrt{a}}\right)\)
a) Rút gọn biểu thức sau A
b) Xác định a để biểu thức A > \(\dfrac{1}{2}\)
`a)đk:a>0,a ne 9`
`A=((sqrta+3+sqrta-3)/(a-9)).((sqrta-3)/sqrta)`
`=((2sqrtx)/(a-9)).((sqrta-3)/sqrta)`
`=2/(sqrta+3)`
`b)A>1/2`
`<=>2/(sqrta+3)>1/2`
`<=>sqrta+3<4`
`<=>sqrta<1`
`<=>a<1`
KẾt hợp đkxđ:`0<x<1`
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a\ne9\end{matrix}\right.\)
a) Ta có: \(A=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-3}+\dfrac{1}{\sqrt{a}+3}\right)\left(1-\dfrac{3}{\sqrt{a}}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}+3+\sqrt{a}-3}{\left(\sqrt{a}-3\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
\(=\dfrac{2}{\sqrt{a}+3}\)
b) Để \(A>\dfrac{1}{2}\) thì \(A-\dfrac{1}{2}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{a}+3}-\dfrac{1}{2}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4-\left(\sqrt{a}+3\right)}{2\left(\sqrt{a}+3\right)}>0\)
mà \(2\left(\sqrt{a}+3\right)>0\forall a\)
nên \(1-\sqrt{a}>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}< 1\)
hay a<1
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: 0<a<1
Với \(x>0\) cho 2 biểu thức \(A=\dfrac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) và \(B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\)
1) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x=64\)
2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm x để \(\dfrac{A}{B}>\dfrac{3}{2}\)
1: Khi x=64 thì \(A=\dfrac{8+2}{8}=\dfrac{10}{8}=\dfrac{5}{4}\)
2: \(B=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{x-1+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)
3: A/B>3/2
=>\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}:\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{3}{2}>0\)
=>\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\dfrac{3}{2}>0\)
=>\(\dfrac{2\sqrt{x}+2-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot2}>0\)
=>\(-\sqrt{x}+2>0\)
=>-căn x>-2
=>căn x<2
=>0<x<4
1) Thay x=64 vào A ta có:
\(A=\dfrac{2+\sqrt{64}}{\sqrt{64}}=\dfrac{2+8}{8}=\dfrac{5}{4}\)
2) \(B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\)
\(B=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(B=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(B=\dfrac{x-1+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(B=\dfrac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(B=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(B=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)
3) Ta có:
\(\dfrac{A}{B}>\dfrac{3}{2}\) khi
\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}:\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}>\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}>\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}>\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\dfrac{3}{2}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{x}+2-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}>0\)
Mà: \(2\sqrt{x}\ge0\forall x\)
\(\Leftrightarrow2-\sqrt{x}>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< 2\)
\(\Leftrightarrow x< 4\)
Kết hợp với đk:
\(0< x< 4\)
Cho biểu thức :B = \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\)
a) Tìm ĐKXĐ của B
b) Rút gọn B
c) Tìm a sao cho B ≤ \(\dfrac{1}{3}\)
a) ĐKXD: \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a\ne1\\a\ne4\end{matrix}\right.\)
b) Với \(a>0;a\ne1;a\ne4\), ta có:
\(B=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\\ =\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{a-1-a+4}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{3}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\)
c)\(B\le\dfrac{1}{3}\rightarrow\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\le\dfrac{1}{3}\rightarrow\dfrac{-2}{\sqrt{a}}\le0\) (đúng với mọi a thoả ĐKXĐ).