a: góc AMO+góc ANO=180 độ

=>AMON nội tiếp

b: Xét ΔAKM và ΔAMI có

góc AMK=góc AIM

góc MAK chung

=>ΔAKM đồng dạng với ΔAMI

=>AK/AM=AM/AI

=>AM^2=AI*AK

Xét ΔABM và ΔAMC có

góc AMB=góc ACM

góc BAM chung

=>ΔABM đồng dạng với ΔAMC

=>AB/AM=AM/AC

=>AM^2=AB*AC=AK*AI

TH1: M nằm trong đường tròn.

 là hai góc nội tiếp cùng chắn cung 

⇒ MA.MB = MC.MD

TH2: M nằm ngoài đường tròn.

ΔMBC và ΔMDA có:

Kiến thức áp dụng

+ Góc nội tiếp chắn một cung có số đo bằng một nửa số đo của cung đó.

+ Hai góc nội tiếp chắn cùng một cung thì có số đo bằng nhau.

TH1: M nằm trong đường tròn.

 là hai góc nội tiếp cùng chắn cung 

⇒ MA.MB = MC.MD

TH2: M nằm ngoài đường tròn.

ΔMBC và ΔMDA có:

a: góc SAO=góc SHO=90 độ

=>SAHO nội tiếp

b: Xét ΔSAB và ΔSCA có

góc SAB=góc SCA

góc ASB chung

=>ΔSAB đồng dạng với ΔSCA

=>SA^2=SB*SC

a: góc AMO+góc ANO=180 độ

=>AMON nội tiếp

b: ΔOBC cân tại O có OI là trung tuyến

nên OI vuông góc BC

Xét (O) có

AM,AN là tiếp tuyến

=>AM=AN

mà OM=ON

nên OA là trung trực của MN

=>OA vuông góc MN tại H

Xét ΔAHK vuông tại H và ΔAIO vuông tại I có

góc HAK chung

=>ΔAHK đồng dạng vớiΔAIO

=>AH/AI=AK/AO

=>AH*AO=AK*AI=AB*AC

Gọi D là trung điểm của AB . Vì AB cố định nên D cố định, đồng thời O cũng cố định => OD cố định.

Qua G kẻ đường thẳng d song song với OC , cắt OD tại H 

Ta có : \(\hept{\begin{cases}GH\text{//}OC\\GD=\frac{1}{3}CD\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}DH=\frac{1}{3}OD\\HG=\frac{1}{3}OC=\frac{1}{3}R\end{cases}}}\) => DH không đổi => H cố định.

Vì H cố định, \(HG=\frac{1}{3}R\)không đổi nên G di chuyển trên đường tròn tâm H , bán kính \(\frac{R}{3}\)

Vậy \(G\in\left(H;\frac{R}{3}\right)\)

Gọi H là giao điểm của MO và AB => H cố định 

Ta có: \(MA^2=MH.MO\)( hệ thức lượng trong tam giác vuông) 

và \(MA^2=MC.MD\)

=> \(MH.MO=MC.MD\)

=> \(\frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}\)

=> Dễ  dàng chứng minh được: \(\Delta\)MCH ~ \(\Delta\)MOD 

=> ^MOD = ^MCH 

=> ^COD = ^MCH mà ^MCH + ^HCD = 180 độ 

=> ^COD + ^HCD = 180 độ 

=> CHOD nội tiếp 

=>  đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)COD luôn qua điểm H cố định

Câu a),b) tự làm nhé , mình chỉ giúp câu c) thôi . 

OI vuông góc NP ( Do I là trung điểm của MP ) , OF vuông góc NP ( Do OF là đường trung trực của NP )
=> O,I,F thẳng hàng
Tam giác ONF vuông tại N , đường cao NI
=> ON^2 = OI.OF
Mà ON=OA
OA^2 = OH.OM
=> OH.OM=OI.OF
=> OH/OI=OF/OM
Xét tam giác OIM và tam giác OHF có
góc MOF chung
OH/OI=OF/OM
=> Tam giác OIM đồng dạng tam giác OHF
=> góc OHF=góc OIM (=90 độ )
OH vuông HF
mà OH vuông AB
=> A,B,F thẳng hàng
=> F nằm trên đường thẳng cố định AB khi đường thẳng d quay quanh M mà vẫn thỏa mãn các yêu cầu đề bài
Điều phải chứng minh