Đặt \(\left(\sqrt{x};2\sqrt{y};3\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a;b;c\ge0\)

Ta có:

\(\dfrac{2}{a+b+c}-\dfrac{1}{ab+bc+ca}\le\dfrac{2}{a+b+c}-\dfrac{3}{\left(a+b+c\right)^2}=-3\left(\dfrac{1}{a+b+c}-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{1}{3}\le\dfrac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \(a=b=c=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\dfrac{1}{4}\\z=\dfrac{1}{9}\end{matrix}\right.\)

Chứng minh gì bạn?

Với a,b,c dưog thì \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

\(P>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+xz+\sqrt{1+x^3}+\sqrt{1+y^3}+\sqrt{1+z^3}}\)

\(\sqrt{1+x^3}=\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x+x^2\right)}< =\dfrac{2+x^2}{2}\)

Dấu = xảy ra khi x=2

=>\(P>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2+6}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+6}\)

Đặt t=(x+y+z)^2(t>=36)

=>P>=2t/t-6

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\dfrac{t}{t+6}\left(t>=36\right)\)

\(f'\left(t\right)=\dfrac{6}{\left(t+6\right)^2}>=0,\forall t>=36\)

=>f(t) đồng biến

=>f(t)>=f(36)=6/7

=>P>=12/7

Dấu = xảy ra khi x=y=z=2

Giá trị nhỏ nhất là 3 căn 7 trên 2

\(\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

Đề bài chắc chắn là có vấn đề

Thử với \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) thì \(VT=\dfrac{\sqrt{2}}{4}< 2\)

Như bạn sửa điều kiện thành \(x^3+y^3+z^3=1\) thì dấu "=" không xảy ra

Việc chứng minh vế trái lớn hơn 2 (một cách tuyệt đối) khá đơn giản:

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)

Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, sau đó cộng vế

Nhưng đẳng thức không xảy ra.

Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :

$\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{x+1}{8}+\frac{x+1}{8}\ge 3\sqrt[3]{3\frac{1}{64}}=\frac{3}{4}$

=> $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}-\frac{x+1}{4}$ (1)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1 

CM tương tự ra có " $\frac{1}{{\left(y+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}-\frac{y+1}{4}$(2) ; $\frac{1}{{\left(z+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}-\frac{z+1}{4}$ (3)

Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1 

Từ (1) (2) và (3) => $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(y+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(z+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}\cdot 3-\frac{x+y+z+3}{4}$$\ge \frac{9}{4}-\frac{3\sqrt[3]{3xyz}+3}{4}=\frac{9}{4}-\frac{6}{4}=\frac{3}{4}$

BĐT được chứng minh 

Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1

:()