Đặt \(a=2x^2+x-2014\) , \(b=x^2-5x-2013\)

thì \(a^2+4b^2=4ab\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2=0\)

Thay vào được \(\left[\left(2x^2+x-2014\right)-2\left(x^2-5x-2013\right)\right]^2=0\)

\(\Leftrightarrow11x+2012=0\Leftrightarrow x=-\frac{2012}{11}\)

a) ĐKXĐ: \(x\ne-1\)

Phương trình tương đương: \(\dfrac{5x-x^2}{x+1}\left(x+\dfrac{5-x}{x+1}\right)=6\)

Đặt \(x+\dfrac{5-x}{x+1}=t\) \(\Rightarrow t=\dfrac{5-x+x^2+x}{x+1}=\dfrac{x^2+5}{x+1}\)

\(\Rightarrow-t=\dfrac{-x^2-5}{x+1}=\dfrac{5x-x^2-5x-5}{x+1}=\dfrac{5x-x^2-5\left(x+1\right)}{x+1}\)

\(=\dfrac{5x-x^2}{x+1}-5\)

\(\Rightarrow-t=\dfrac{5x-x^2}{x+1}-5\Rightarrow5-t=\dfrac{5x-x^2}{x+1}\)

Vậy Phương trình trở thành: \(\left(5-t\right)t=6\Leftrightarrow t^2-5t+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0\)

Khi t=2 thì \(x+\dfrac{5-x}{x+1}=2\Leftrightarrow x^2-2x+3=0\) (vô nghiệm)

Khi t=3 thì \(x+\dfrac{5-x}{x+1}=3\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)\(\)

a) \(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}+\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=1\)
\(\Leftrightarrow\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7=1\)
Dễ dàng thấy \(x=2013\) hoặc \(x=2014\) là các nghiệm của phương trình.
Nếu \(x>2014\) khi đó \(\left|x-2013\right|^5>\left|2014-2013\right|^5>1\) nên:
\(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7>1\) .
Vì vậy mọi \(x>2014\) đều không là nghiệm của phương trình.
Nếu \(x< 2013\) khi đó \(\left|x-2014\right|^7>\left|2013-2014\right|^7>1\) nên:
\(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7>1\).
Vì vậy mọi \(x< 2013\) đều không là nghiệm của phương trình.
Nếu \(2013< x< 2014\) khi đó:
\(\left|x-2013\right|< 1,\left|x-2014\right|< 1\).
Suy ra \(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7< \left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|\).
Ta xét tập giá trị của \(\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|\) với \(2013< x< 2014\).
Khi đó \(x-2013>0,x-2014< 0\).
Vì vậy \(\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|=x-2013+x-2014=1\).
Suy ra \(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7< 1\).
vậy mọi x mà \(2013< x< 2014\) đều không là nghiệm của phương trình.
Kết luận phương trình có hai nghiệm là \(x=2013,x=2014\).

\(\left(x^2+4x-5\right)\left(x^2+4x-21\right)=297\)

đặt a = \(x^2+4x-5\) vào bt ta được:

\(a\left(a-16\right)-297=0\Leftrightarrow a^2-16a+64-361=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-8\right)^2-19^2=0\Leftrightarrow\left(a-27\right)\left(a+11\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-32\right)\left(x^2+4+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+8\right)\left(\left(x+2\right)^2+2\right)=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x-4=0\\x+8=0\\\left(x+2\right)^2=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\x=-8\end{matrix}\right.\)

\(\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)=297\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x-x+3\right)\left(x^2+7x+5x+35\right)=297\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+3\right)\left(x^2+12x+35\right)=297\)

\(\Leftrightarrow x^4+12x^3+35x^2-4x^3-48x^2-140x+3x^2+36x+105=297\)

\(\Leftrightarrow x^4+8x^3-10x^2-104x+105-297=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-4x^3+12x^3-48x^2+38x^2-152x+48x-192=0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-4\right)+12x^2\left(x-4\right)+38x\left(x-4\right)+48\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x^3+12x^2+38x+48\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x^3+8x^2+4x^2+32x+6x+48\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left[x^2\left(x+8\right)+4x\left(x+8\right)+6\left(x+8\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+8\right)\left(x^2+4x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-4=0\\x+8=0\\x^2+4x+6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-8\\x\notin R\end{matrix}\right.\)

\(S=\left\{4;-8\right\}\)

\(\left(x-1\right)\left(x+5\right)\left(x-3\right)\left(x+7\right)-297=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-5\right)\left(x^2+4x-21\right)-297=0\)

gọi \(x^2+4x-5=y\) ta có :

\(y\left(y-16\right)-297=0\)

\(\Leftrightarrow y^2-16y-297=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-27\right)\left(y+11\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x-32\right)\left(x^2-4x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-8\right)\left(x+4\right)\left(x^2-4x+6\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-8\right)\left(x+4\right)=0\) ( VÌ \(x^2-4x+6=\left(x-2\right)^2+2\) )

còn lại tự làm :))

\(=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}+...+\dfrac{1}{x+2013}-\dfrac{1}{x+2014}\)

=1/x-1/x+2014

\(=\dfrac{x+2014-x}{x\left(x+2014\right)}=\dfrac{2014}{x\left(x+2014\right)}\)

Đặt \(t=1-\sqrt{x}\left(t\ge0\right)\)

\(\Rightarrow\left(1-t\right)^2-\left(t-2015\right)\left(1-\sqrt{t}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(1-\sqrt{t}\right)^2\left(1+\sqrt{t}\right)^2+\left(t-2015\right)\left(1-\sqrt{t}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(1-\sqrt{t}\right)^2\left(1+2\sqrt{t}+t+t-2015\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t+\sqrt{t}-1007=0\end{matrix}\right.\Rightarrow t=1,t=\dfrac{2015}{2}-\dfrac{\sqrt{4029}}{2}\left(loai\right)\)

Vậy \(x=0\)