Tham khảo: Câu hỏi của Lê Thành An - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\ge2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{b}{ac}}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{b}{ac}.\frac{c}{ab}}=\frac{1}{a}\)

\(\frac{c}{ab}+\frac{a}{bc}\ge2\sqrt{\frac{c}{ab}.\frac{a}{bc}}=\frac{1}{b}\)

cộng vế với vế ta được \(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

=>\(A=\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=2

Vậy minA=3/2 khi a=b=c=2

Ctv lá láo gì abj 

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2ab+2bc+2ca}+\frac{1}{2ab+2bc+2ca}\)+2ca

Do a,b,c dương nên ADBĐT Cauchy ta được:

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{4}{(a+b+c)^2}=4\)

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow2ab+2bc+2ca\le\frac{2}{3}\)\(\Rightarrow\frac{1}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{3}{2}\)

Suy ra P\(\ge4+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}\)

Dấu = khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\)

đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))

Sử dụng BĐT Svacxo ta có :

 \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)

\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)

bài làm của e : 

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)

Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)

Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được : 

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)

Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:

https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html

Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1

chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)

Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)

Dễ CM đc: \(\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab+a+1}=1\) với abc=1 

\(B=\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab+a+2}\le\frac{1}{16}\left(9\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab+a+1}+3\right)=\frac{1}{16}\left(9.1+3\right)=\frac{3}{4}\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)

#)Trả lời :

\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{a+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)

Tách VT = A + B và xét :

\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3b}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)

\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b}{2}\right)\)

\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\)\(\sum\)\(ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)

( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1

Tham khảo nhé ^^