M góp ý tí: Bác Akai Haruma muốn dùng cái cosi dạng engel thì trước hết phải chứng minh \(\dfrac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}>0\) đã nhé. Không thì không được dùng đâu.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\((a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 9abc\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 9abc\)
\(\Rightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{9}{ab+bc+ac}\)
\(\Rightarrow M\geq \frac{1}{1-2(ab+bc+ac)}+\frac{9}{ab+bc+ac}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{1-2(ab+bc+ac)}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{1-2(ab+bc+ac)+ab+bc+ac+ab+bc+ac}=9(1)\)
Theo hệ quả của BĐT Cauchy: \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{7}{ab+bc+ac}\geq 21(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow M\geq 9+21=30\) hay \(M_{\min}=30\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
