Bài 2: Nhân đa thức với đa thức

1. Quy tắc

Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích vừa thu được với nhau.

\(\left(A+B\right)\left(C+D\right)=A\left(C+D\right)+B\left(C+D\right)\\ =AC+AD+BC+BD\)

Ví dụ: Thực hiện phép tính \(\left(x-1\right)\left(5x^2-3x+2\right)\)?

Muốn thực hiện nhân hai đa thức trên, ta có thể lấy lần lượt từng đơn thức \(x\) và \(-1\) nhân với từng đơn thức trong đa thức \(5x^2-3x+2\), rồi cộng các kết quả lại.

Cụ thể:

\(\left(x-1\right)\left(5x^2-3x+2\right)=x\left(5x^2-3x+2\right)-1\left(5x^2-3x+2\right)\)

\(=x.5x^2+x.\left(-3x\right)+x.2+\left(-1\right).5x^2+\left(-1\right)\left(-3x\right)+\left(-1\right).2\)

\(=5x^3-3x^2+2x-5x^2+3x-2\)

\(=5x^3-8x^2+5x-2\).

Vậy, kết quả của phép nhân đa thức \(x-1\) với đa thức \(5x^2-3x+2\) là đa thức \(5x^3-8x^2+5x-2\).

Nhận xét: Tích của hai đa thức là một đa thức.

Chú ý: ta còn có thể trình bày phép nhân hai đa thức như sau:

Muốn thực hiện theo cách này, trước tiên ta phải sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần hoặc tăng dần của biến, sau đó trình bày theo các quy tắc:

• Đa thức này viết dưới đa thức kia.
• Kết quả của phép nhân mỗi hạng tử của đa thức thứ hai với đa thức thứ nhất được viết riêng trong một dòng.
• Các đơn thức đồng dạng được sắp xếp cùng một cột.
• Cộng theo từng cột.

2. Áp dụng

Ngoài nhân đa thức một biến với đa thức một biến, ta còn có thể thực hiện phép nhân các đa thức nhiều biến với nhau.

Ví dụ 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\left(3x-2\right)\left(4x^4+3x-1\right)\);

b) \(\left(x-2y\right)\left(x^2+3xy^2-y\right)\).

Lời giải:

a) Ta có: \(\left(3x-2\right)\left(4x^4+3x-1\right)\)

\(=3x\left(4x^4+3x-1\right)-2\left(4x^4+3x-1\right)\)

\(=3x.4x^4+3x.3x+3x.\left(-1\right)+\left(-2\right).4x^4+\left(-2\right).3x+\left(-2\right).\left(-1\right)\)

\(=12x^5+9x^2-3x-8x^4-6x+2\)

\(=12x^5-8x^4+9x^2-9x+2\).

b) Ta có: \(\left(x-2y\right)\left(x^2+3xy^2-y\right)\)

\(=x\left(x^2+3xy^2-y\right)-2y\left(x^2+3xy^2-y\right)\)

\(=x.x^2+x.3xy^2+x.\left(-y\right)+\left(-2y\right).x^2+\left(-2y\right).3xy^2+\left(-2y\right).\left(-y\right)\)

\(=x^3+3x^2y^2-xy-2x^2y-6xy^3+2y^2\).

Ta có thể dùng quy tắc nhân đa thức với đa thức để giải quyết các bài toán tìm \(x\).

Ví dụ 2: Tìm \(x\) biết \(\left(2x-3\right)\left(5-x\right)+2\left(x^2-x+1\right)=-2\).

Lời giải:

\(\left(2x-3\right)\left(5-x\right)+2\left(x^2-x+1\right)=-2\)

\(\Leftrightarrow10x-2x^2-15+3x+2x^2-2x+2=-2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-2x^2\right)+\left(10x+3x-2x\right)=-2-2+15\)

\(\Leftrightarrow11x=11\Leftrightarrow x=1\).

Vậy \(x=1\) là giá trị cần tìm.

Tương tự như nhân đơn thức với đa thức trong bài trước, ta cũng có thể dùng quy tắc nhân đa thức với đa thức để thu gọn một biểu thức trước khi thực hiện tính giá trị của biểu thức đó với giá trị cụ thể của các biến.

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức \(Q=\left(2x-xy\right)\left(3+y^2\right)-2xy^2+3xy\) tại \(x=1;y=1\).

Lời giải:

Ta có: \(Q=\left(2x-xy\right)\left(3+y^2\right)-2xy^2+3xy\)

\(=6x+2xy^2-3xy-xy^3-2xy^2+3xy\)

\(=6x-xy^3\).

Thay \(x=1;y=1\) vào biểu thức, ta được:

\(Q=6.1-1.1^3=6-1=5\).

Vậy khi \(x=1;y=1\) thì \(Q=5\).