Vì n lẻ nên n=2k+1

\(n^4-10n^2+9\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\cdot\left(2k-2\right)\cdot\left(2k+4\right)\)

\(=16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k-1;k+1;k;k+2 là bốn số liên tiếp

nên \(\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)⋮4!=24\)

\(\Leftrightarrow16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)⋮384\)

Chứng minh A= 10 ^n + 18n - 1 chia hết cho 27

Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)

Ta có

\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)+\(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

--Vì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\)là tích của 5 số nguyên liên tiếp

=> \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 2;3;5

=> \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 30 (*)

-- vì \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho 2; 3

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)

=> \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5.6=30\) (**)

từ * và ** => \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮30\)

hay \(n^5-n⋮30\left(đpcm\right)\)

like nhoa !!

tim max duoc thoi nhe ban

2.  n=27

trình bày rõ ràng nha

Đề là chứng minh N < 1/4 sẽ đúng hơn

Ta có :

\(N=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}\)

\(\Rightarrow2^2.N=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\)

Ta lại có :

\(4N=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}=1-\frac{1}{n}\)

\(\Rightarrow N< \left(1-\frac{1}{n}\right):4=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{n}\right)\)

Mà \(n\in N;n\ge2\)=> 1 -\(\frac{1}{n}\)< 1

=> \(N< \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{4}\)

=> \(N< \frac{1}{4}\)( đpcm )

Thank you very much

Biến đổi thành : \(n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\) rồi thay n=2k vào ta được 8k(k+1)(k+2)

48 =3.16 =3.2.8

cần c/m chia hết ch 3.2.8

\(\left\{{}\begin{matrix}A=n^3+6n^2+8n\\n=2k;k\in Z\end{matrix}\right.\)

\(A=8.k^3+24k^2+16k=8k\left(k^2+3k+2\right)\)

\(A=8k\left[k^2-1+3k+3\right]=8k\left(k-1\right)\left(k+1\right)+8.3.k\left(k+1\right)\)

\(A=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

có k(k+1)(k+2) ba số nguyên liên tiếp => chia hết cho 6

=> A chia hết cho 8.6 =48 => dpcm