Cho \(\left\{{}\begin{matrix}\text{x, y, z > 0}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\). Tìm \(\min\limits_P=\dfrac{1}{\alpha\text{a}+\beta b+\gamma c}+\dfrac{1}{\beta\text{a}+\gamma b+\alpha c}+\dfrac{1}{\gamma\text{a}+\alpha b+\beta c} v\text{ới} \alpha; \beta;\text{ \gamma}\in\) \(\mathbb{N}^*\)
1. Cho a,b,c > 0. Cmr: a) \(\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ca}+\frac{ab}{c^2+2ab}\le1\)
b) \(\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}\)
2. Cho \(x,y,z>0;x+\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge3;\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge2;\frac{z}{5}\ge1.MaxP=x^2+y^2+z^2\)
3. Cho \(x>0;y\ge2;2x+y+xy\ge6.MinP=x^3+y^2\)
4. Cho \(0< \alpha< \beta< \gamma\). Giả sử x,y,z > 0 TM \(z\ge\gamma;\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{xyz}{\alpha\beta\gamma}=4;\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{yz}{\beta\gamma}=3.MinP=x^3+y^3+z^3\)
Cho \(\dfrac{\sin^4\alpha}{a}+\dfrac{\cos^4\alpha}{b}=\dfrac{1}{a+b}\).CM:\(\dfrac{\sin^8\alpha}{a^3}+\dfrac{cos^8\beta}{b^3}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)^3}\)
Cho các số x, y, z thoả mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=a\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{c}\\x^2+y^2+z^2=b^2\end{matrix}\right.\)
Tính \(P=x^3+y^3+z^3\) theo a, b, c.
a) Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z+xy+yz+zx=6. Tìm Min \(P=x^2+y^2+z^2\)
giải hệ pt : 1) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\dfrac{1}{y}}=2\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\dfrac{1}{x}}=2\end{matrix}\right.\)
2) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\x^4+x^2y^2+y^4=21\end{matrix}\right.\)
KẾT QUẢ CUỘC THI TOÁN DO DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG TỔ CHỨC .
Giải nhất : Ngô Tấn Đạt . Phần thưởng : Thẻ cào 100k + 30GP
Giải nhì : Hoàng Thảo Linh và Diệp Băng Dao . Phần thưởng : Thẻ cào 50k + 20GP
Giải ba : Truy kích và Luân Đào . Phần thưởng : 15GP
Nhờ thầy @phynit trao giải cho những bạn trên ạ . Cảm ơn các bạn dã ủng hộ cuộc thi của mình . GOOD LUCK !
ĐÁP ÁN VÒNG 3 : " CUỘC THI TOÁN DO DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG TỔ CHỨC "
Câu 1 :
a ) ĐKXĐ : \(x\ge0\) , \(x\ne25\) , \(x\ne9\)
b )
\(A=\left(\dfrac{x-5\sqrt{x}}{x-25}-1\right):\left(\dfrac{25-x}{x+2\sqrt{x}-15}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+5}+\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-3}\right)\)
\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}-1\right):\left(\dfrac{25-x}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}+\dfrac{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}\right)\)
\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}-1\right):\left(\dfrac{25-x-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}\right)\)
\(=\dfrac{-5}{\sqrt{x}+5}:\left(\dfrac{25-x-x+9+x-25}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}\right)\)
\(=\dfrac{-5}{\sqrt{x}+5}:\dfrac{-x+9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}\)
\(=\dfrac{-5}{\sqrt{x}+3}:\dfrac{-\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}+5}\)
\(=\dfrac{-5}{\sqrt{x}+5}\times\dfrac{\sqrt{x}+5}{-\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
\(=\dfrac{5}{\sqrt{x}+3}\)
c )
Để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì \(5\) phải chia hết cho \(\sqrt{x}+3\)
Ta có : \(Ư\left(5\right)=\left(-5;-1;1;5\right)\) . Mà \(\sqrt{x}+3\ge3\) .
\(\Rightarrow\sqrt{x}+3=5\Rightarrow\sqrt{x}=2\Rightarrow x=4\left(N\right)\)
Vậy \(x=4\) thì biểu thức A nhận giá trị nguyên .
d )
Ta có :
\(B=\dfrac{A\left(x+16\right)}{5}=\dfrac{5\left(x+16\right)}{\dfrac{\sqrt{x}+3}{5}}=\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{x-9+25}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)+25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}+3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}-6\)
Theo BĐT Cô - Si cho hai số không âm ta có :
\(\sqrt{x}+3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\ge2\sqrt{\sqrt{x}+3\times\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}}=2\sqrt{25}=10\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}-6\ge10-6=4\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(\sqrt{x}+3=\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\Leftrightarrow\sqrt{x}+3=5\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\)
Vậy GTNN của \(B\) là 4 khi \(x=4\)
Câu 2 :
a ) \(\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+4x+1\right)=6x^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+4x^3+x^2-x^3-4x^2-x+x^2+4x+1-6x^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^4+3x^3-8x^2+3x+1=0\)
Xét : 0 không phải là nghiệm của phương trình trên .
\(\Leftrightarrow x^2+3x-8+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+\left(3x+\dfrac{3}{x}\right)-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-10=0\)
Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\) . Phương trình trở thành :
\(t^2+3t-10=0\)
\(\Delta=9+40=49>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_1=\dfrac{-3+\sqrt{49}}{2}=2\\t_2=\dfrac{-3-\sqrt{49}}{2}=-5\end{matrix}\right.\)
Với \(t_1=2\) :
\(\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}=2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x}{x}\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Với \(t=-5\) :
\(\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}=-5\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{-5x}{x}\)
\(\Leftrightarrow x^2+5x+1=0\)
\(\Delta=25-4=21>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-5+\sqrt{21}}{2}\\x_2=\dfrac{-5-\sqrt{21}}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(S=\left\{1;\dfrac{-5+\sqrt{21}}{2};\dfrac{-5-\sqrt{21}}{2}\right\}\)
b ) \(3x^2+2x=2\sqrt{x^2+x}+1-x\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+x\right)-2\sqrt{x^2+x}-1=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+x\right)-3\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2+x}-1=0\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt{x^2+x}\left(\sqrt{x^2+x}-1\right)+\left(\sqrt{x^2+x}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+x}-1\right)\left(3\sqrt{x^2+x}+1=0\right)\)
\(\) \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+x}-1\right)=0\) . Vì \(3\sqrt{x^2+x}+1>0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-1=0\)
\(\Delta=1+4=5>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy ..............................
c )
\(\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{x^2+4x+3}\) ( ĐK : \(x\ge-1\) )
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}-2x-\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+3}-2x\right)\left(\sqrt{x+1}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}=2x\\\sqrt{x}+1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x+3=4x^2\end{matrix}\right.\\x+1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy......................
d ) \(x^2+9x+20=2\sqrt{3x+10}\) ( ĐK : \(x\ge-\dfrac{10}{3}\) )
\(\Leftrightarrow\left(x^2+6x+9\right)+\left(3x+10-2\sqrt{3x+10}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2+\left(\sqrt{3x+10}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\\sqrt{3x+10}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-3\)
Vậy...............................
Câu 3 :
a )
\(VT=\dfrac{\sqrt{\dfrac{abc+4}{a}-4\sqrt{\dfrac{bc}{a}}}}{\sqrt{abc}-2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{\dfrac{abc+4}{a}-\dfrac{4\sqrt{abc}}{a}}}{\sqrt{abc}-2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{\dfrac{abc+4-4\sqrt{abc}}{a}}}{\sqrt{abc}-2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{abc}-2\right)^2}{a}}}{\sqrt{abc}-2}\)
\(=\dfrac{\dfrac{\sqrt{abc}-2}{\sqrt{a}}}{\sqrt{abc}-2}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\left(đpcm\right)\)
b )
Nếu trong \(a+bc;b+ca;c+ab\) không có số nào lớn hơn 1 thì giá trị của mỗi số hạng củaVT ít nhất là \(\dfrac{1}{3}\)
Nếu trong \(a+bc;b+ca;c+ab\) có một số lớn hơn 1 khi đó : \(c=\dfrac{1-ab}{a+b}\)và \(a+b< 1\)
Theo BĐT Cô - Si dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{1}{2a+2bc+1}+\dfrac{1}{2b+2ca+1}\ge\dfrac{4}{2a+2b+2bc+2ca+2}=\dfrac{2}{a+b+2-ab}\)
Khi đó ta cần chứng minh :
\(\dfrac{2}{2+a+b-ab}+\dfrac{1}{2c+2ab+1}\ge1\)
Hay :\(\dfrac{2}{a+b-ab+2}+\dfrac{a+b}{a+b-2ab+2ab\left(a+b\right)+2}\ge1\)
Ta có :
\(VT=\dfrac{4+4\left(a+b\right)-4ab+3ab\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2}{\left(2+a+b-ab\right)\left(2+a+b-2ab+2ab\left(a+b\right)\right)}\)
Đặt \(S=a+b< 1;P=ab\) . Ta cần chứng minh :
\(\dfrac{4+4S-4P+3SP+S^2}{4S-6P+3SP+S^2+2S^2P-2P^2+2SP^2+4}\ge1\)
\(\Leftrightarrow2P\ge2S^2P-2P^2+2S^2P\)
\(\Leftrightarrow2P\left(1-S\right)\left(P+S+1\right)\ge0\) ( Đúng vì \(S< 1\) )
Dấu \("="\) xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoàn vị .
Câu 4 :
a )
Tứ giác ADHE có : \(\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0\)
\(\Rightarrow ADHE\) là hình chữ nhật .
\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{HAE}\)
Ta lại có : \(\widehat{HAE}=\widehat{ABC}\) ( Cùng phụ với góc C )
\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)
Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta ABC\) ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}:Chung\\\widehat{AED}=\widehat{ABC}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AED\sim\Delta ABC\left(g-g\right)\)
b )
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}S_{ADE}=\dfrac{1}{2}S_{ADHE}\\S_{ABC}=2S_{ADHE}\end{matrix}\right.\Rightarrow S_{ADE}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}\Rightarrow\) \(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{4}\)
Mặt khác : \(\Delta ADE\sim\Delta ABC\) ( Câu a )
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{DE}{BC}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow DE=\dfrac{1}{2}BC\)
Gọi M là trung điểm của BC .
\(\Delta ABC\) vuông tại A . \(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\)
\(\Rightarrow DE=AM\)
Mà \(AH=DE\) ( Do ADHE là hình chữ nhật )
\(\Rightarrow AM=AH\) ( Đường trung tuyến cũng là đường cao )
\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại A ( đpcm )
Câu 5 :
Ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}2011+y^2=y^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\\2011+z^2=z^2+xy+yz+zx=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\\2011+x^2=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow Q=x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=2\left(xy+yz+zx\right)=2.2011=4022\)
Giải các hệ phương trình:
a) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+3\right)\left(y-5\right)=xy\\\left(x-2\right)\left(y+5\right)=xy\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{4}\\\dfrac{1}{6x}+\dfrac{1}{5y}=\dfrac{2}{15}\end{matrix}\right.\)
1. Giải các hpt sau:
a, \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=4\\3x+4y=19\end{matrix}\right.\) b, \(\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{3y}=\sqrt{3}\\\sqrt{3x}+y=7\end{matrix}\right.\)
2. Giải các hpt sau:
a, \(\left\{{}\begin{matrix}2-\left(x-y\right)-3\left(x+y\right)=5\\3\left(x-y\right)+5\left(x+y\right)=-2\end{matrix}\right.\) b, \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{2}{y-1}=2\\\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{y-1}=1\end{matrix}\right.\)
c, \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=24\\\dfrac{x}{9}+\dfrac{y}{27}=2\dfrac{8}{9}\end{matrix}\right.\) d, \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}-3\sqrt{y+2}=2\\2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2=15}\end{matrix}\right.\)
3. Cho hpt \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m+1\right)x-y=3\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)
a, Giải hpt khi m=\(\sqrt{2}\)
b, tìm giá trị của m để hpt có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x+y>0
Cho x, y, z là các số thoả mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{12}-\dfrac{z}{4}=1\\\dfrac{x}{10}+\dfrac{y}{5}+\dfrac{z}{3}=1\end{matrix}\right.\)
Tính \(M=x^{10}+y^{100}+z^{1000}\)
giải hpt: a,\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+xy=7\\x^4+y^4+x^2y^2=21\end{matrix}\right.\) b,\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=7\\x^2-y^2+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}=21\end{matrix}\right.\)
