Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB và cung AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh tam giác AEH là tam giác cân.
+ Do góc 
là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn hai cung 
+ Do góc 
là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn hai cung 
+ Do M và N là điểm chính giữa của cung A B ⏜ v à A C ⏜
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB và cung AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh tam giác AEH là tam giác cân.
+ Do góc 
là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn hai cung 
+ Do góc 
là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn hai cung 
Kiến thức áp dụng
+ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB và AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh tam giác AEH là tam giác cân.
Ta có:
= 
(1)
= 
(2)
(Vì và là các góc có đỉnh cố định ở bên trong đường tròn).
Theo gỉả thiết thì:
Từ (1),(2), (3), (4), suy ra = do đó ∆AEH là tam giác cân.
Cho đường tròn (O) và 2 dây AB,AC sao cho AB<AC và O nằm trong góc BAC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa ⌢ABAB⌢ và ⌢ACAC⌢ .
MN cắt dây AB ở H, BN cắt CM tại K
a) C/m : tam giác NCK cân và Tam giác AMK cân
b) C/m : tứ giác BMHK nội tiếp
c) C/m : HK // AC và so sánh góc BAK và góc CAK
Cho (O) và hai dây AB,AC. Gọi M,N lần lượt là điểm chính giữa của \(\widebat{AB}\);\(\widebat{AC}\). đường thẳng MN cắt dây AB tại D, cắt dây AC tại E. Chứng minh tam giác ADE cân
Cho đường tròn tâm (O) với dây AB cố định không phải đường kính . Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn . M,N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB,AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K
a, Cm tứ giác BMHI nội tiếp
b, Cm MK.MN=MI.MC
c, Cm tam giác AKI cân tại K và tứ giác AHIK là hình thoi
Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm (O) với dây AB cố định không phải đường kính. Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn. M; N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp
b) Chứng minh MK.MN = MI.MC
c) Chứng minh tứ giác AKI cân tại K và tứ giác AHIK là hình thoi.
a) Xét tứ giác HMBI có:
∠HMI = ∠HBI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau \(\widebat{AN}=\widebat{CN}\))
Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh HI
=> Tứ giác BMHI nội tiếp
b) Xét ΔMNI và ΔMKC có:
∠KMC là góc chung
∠MNI = ∠KCM (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau \(\widebat{AM}=\widebat{BM}\))
=> ΔMNI ∼ ΔMCK => \(\frac{MN}{MC}=\frac{MI}{MK}\) => MN.MK = MC.MI
c) Xét tứ giác NKIC có:
∠KNI = ∠KCI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau \(\widebat{AM}=\widebat{MB}\))
Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh KI
=> Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp
=> ∠NKI + ∠NCI = 180o (1)
Xét đường tròn (O) có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{ANK}=\widehat{ACM}\left(\text{2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM}\right)\\\widehat{NAK}=\widehat{NCA}\left(\text{2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung BẰNG NHAU}\widebat{AN}=\widebat{CN}\right)\end{cases}}\)
=> ∠ANK + ∠NAK = ∠ACM + ∠NCA = ∠NCI (2)
Xét tam giác AKN có: ∠ANK + ∠NAK + ∠NKA = 180o (3)
Từ (1), (2), (3) => ∠NKI = ∠NKA
Xét tam giác IKN và tam giác AKN có:
∠NKI = ∠NKA
KN là cạnh chung
∠KNI = ∠KNA (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
=> ΔIKN = ΔAKN
=> IK=AK =>ΔAKI cân tại K
Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp
Mặt khác ∠KCN = ∠ABN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O))
∠BAC = ∠BNC (2 góc nội tiếp cùng chắc cung BC của (O))
=> Tứ giác AHIK là hình bình hành
Mà IK = AK
=> Tứ giác AHIK là hình thoi.
CÒN LẠI TỰ LÀM LÀM NHA
Bài 1*: Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi D,E theo thứ tự là các điểm đối xứng của điểm H qua các cạnh AB, AC. Đường thẳng DE cắt AB,AC lần lượt tại M,N. Chứng minh:
1. Tam giác DAE là tam giác cân.
2. HA là phân giác của góc MHN.
3. Ba đường thẳng BN,CM và AH đồng quy.
4. BN,CM là các đường cao của tam giác ABC.
1: Ta có: H và D đối xứng nhau qua AB
nên AB là đường trung trực của HD
Suy ra: \(AH=AD\left(1\right)\)
Ta có: H và E đối xứng nhau qua AC
nên AC là đường trung trực của HE
Suy ra: \(AH=AE\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra AD=AE
Xét ΔADE có AD=AE
nên ΔADE cân tại A
Bài tập 1: Cho ABC là tam giác vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB.
a) Tính MN. Chứng minh rằng MNBC là hình thang.
b) Qua A kẻ đường thẳng song song với BC và cắt BM tại D. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
c) Đường thẳng qua B song song với AC cắt DC tại E. Chứng minh ACEB là hình chữ nhật.
d) Vẽ CH vuông góc với BD. Đường thẳng qua D vuông góc với AD cắt BE tại K. Chứng minh K, C, H thẳng hàng.
