giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=12\) chứng minh rằng
\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}+\dfrac{bc}{b+3c+2a}+\dfrac{ca}{c+3a+2b}\)≤1
Cho các số thực dương \(a;b;c\) thỏa mãn : \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng :
\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}+\dfrac{bc}{b+3c+2a}+\dfrac{ac}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{2}\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán giúp đỡ em tham khảo với ạ!
Em cám ơn nhiều ạ!
\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{2b}\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{a}{2}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{bc}{b+3c+2a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{b}{2}\right)\)
\(\dfrac{ac}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ac}{a+b}+\dfrac{c}{2}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc+ac}{a+b}+\dfrac{bc+ab}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{9}.\left(a+b+c+\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho các số thực dương \(a;b;c\) thỏa mãn :\(ab+bc+ca=abc\). Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a+2b+3c}+\dfrac{1}{b+2c+3a}+\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{1}{6}\).
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô và các bạn bè hỗ trợ và giúp đỡ với ạ. Em cám ơn rất nhiều!
\(ab+bc+ca=abc\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(\dfrac{1}{a+2b+3c}=\dfrac{1}{a+b+b+c+c+c}\le\dfrac{1}{6^2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{b+2c+3a}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{3}{a}\right)\) ; \(\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{6}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{3a^3+7b^3}{2a+3b}+\dfrac{3b^3+7c^3}{2b+3c}+\dfrac{3c^3+7a^3}{2c+3a}\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(BDT\Leftrightarrow2a^4b+2b^4c+2c^4a+3ab^4+3bc^4+3ca^4\ge5a^2b^2c+5a^2bc^2+5ab^2c^2\)
Ta chứng minh được \(ab^4+bc^4+ca^4\ge a^2b^2c+a^2bc^2+ab^2c^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
\(VT=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ac}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=VP\)
Vậy ta cần chứng minh \(2a^4b+2b^4c+2c^4a+2ab^4+2bc^4+2ca^4\ge4a^2b^2c+4a^2bc^2+4ab^2c^2\)
\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(2c^3+bc^2-b^2c+ac^2-a^2c+3ab^2+3a^2b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Em có cách này tuy nhiên không chắc,do em mới học sos thôi,mong mọi người giúp đỡ ạ!
BĐT \(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{7b^3+3ab^2-7a^2b-3a^3}{2a+3b}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{7b\left(b^2-a^2\right)+3a\left(b^2-a^2\right)}{2a+3b}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{\left(b^2-a^2\right)\left(7b+3a\right)}{2a+3b}-2\left(b^2-a^2\right)\right)\ge0\) (ta không cần cộng thêm \(\Sigma_{cyc}2\left(b^2-a^2\right)\) vì \(\Sigma_{cyc}2\left(b^2-a^2\right)=\Sigma_{cyc}2\left(b^2-a^2+c^2-b^2+a^2-c^2\right)=0\))
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(b^2-a^2\right)\left(\frac{7b+3a-4a-6b}{2a+3b}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{2a+3b}\ge0\)
P/s: Hình như có gì đó sai sai ạ,mong mọi người check hộ em!Em cảm ơn nhiều ạ!
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}=2017\)
Tìm max \(P=\dfrac{1}{2a+3b+3c}+\dfrac{1}{3a+2b+3c}+\dfrac{1}{3a+3b+2c}\)
Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn a + b + c =6 Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: A = \(\dfrac{ab}{a+3b+2c}\)+\(\dfrac{bc}{b+3c+2a}\)+\(\dfrac{ca}{c+3a+2b}\)
Bổ đề :\(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz};\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.\dfrac{1}{z}}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{y}\dfrac{1}{z}}=9\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ x=y=z
Ta có:\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{9}.\dfrac{9}{a+3b+2c}\le\dfrac{ab}{9}.\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2b}\right)\)
Tương tự ta có:\(\dfrac{bc}{b+3c+2a}\le\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b+a}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{2c}\right)\)
\(\dfrac{ca}{c+3a+2b}\le\dfrac{ca}{9}.\left(\dfrac{1}{c+b}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{2a}\right)\)
Cộng vế với vế ta có:
\(A\le\dfrac{1}{9}.\left(\dfrac{ab+bc}{a+c}+\dfrac{cb+ac}{a+b}+\dfrac{ca+ab}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}.\left(a+b+c+\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{1}{9}.\left(6+\dfrac{6}{3}\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ a=b=c=2
Vậy Max A=1⇔ a=b=c=2
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng :
\(\dfrac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\dfrac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\dfrac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le3\)
Lời giải:
Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.
Áp dụng vào bài:
$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$
$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$
Tương tự:
$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$
Cộng theo vế:
$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Ch a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A=\dfrac{ab}{a+3b+2c}+\dfrac{bc}{b+3c+2a}+\dfrac{ca}{c+3a+2b}\)
Áp dụng bđt \(\dfrac{9}{a+b+c}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Khi đó \(\dfrac{9.ab}{a+3b+2c}=ab.\dfrac{9}{\left(a+c\right)+\left(c+b\right)+2b}\le\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{c+b}+\dfrac{a}{2}\)
Tương tự và cộng theo vế suy ra \(9A\le\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2}=9< =>A\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{b+2c+a}+\dfrac{1}{c+2a+b}\le\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}\)
1. Cho \(a,b,c>0\) và \(ab+bc+ca=abc\). Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{a+3b+2c}+\dfrac{1}{b+3c+2a}+\dfrac{1}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{6}\)
2. Cho \(a,b\ge0\) và \(a+b=2\) Tìm Max
\(E=\left(3a^2+2b\right)\left(3b^2+2a\right)+5a^2b+5ab^2+20ab\)
Có \(ab+bc+ac=abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Áp dụng các bđt sau:Với x;y;z>0 có: \(\dfrac{1}{x+y+z}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\) và \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Có \(\dfrac{1}{a+3b+2c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}\right)\)\(\le\dfrac{1}{9}.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)=\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)
CMTT: \(\dfrac{1}{b+3c+2a}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}+\dfrac{2}{a}\right)\)
\(\dfrac{1}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}\right)\)
Cộng vế với vế => \(VT\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{6}{c}\right)=\dfrac{1}{36}.6\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=3
Có \(a+b=2\Leftrightarrow2\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le1\)
\(E=\left(3a^2+2b\right)\left(3b^2+2a\right)+5a^2b+5ab^2+2ab\)
\(=9a^2b^2+6\left(a^3+b^3\right)+4ab+5ab\left(a+b\right)+20ab\)
\(=9a^2b^2+6\left(a+b\right)^3-18ab\left(a+b\right)+4ab+5ab\left(a+b\right)+20ab\)
\(=9a^2b^2+48-18ab.2+4ab+5.2.ab+20ab\)
\(=9a^2b^2-2ab+48\)
Đặt \(f\left(ab\right)=9a^2b^2-2ab+48;ab\le1\), đỉnh \(I\left(\dfrac{1}{9};\dfrac{431}{9}\right)\)
Hàm đồng biến trên khoảng \(\left[\dfrac{1}{9};1\right]\backslash\left\{\dfrac{1}{9}\right\}\)
\(\Rightarrow f\left(ab\right)_{max}=55\Leftrightarrow ab=1\)
\(\Rightarrow E_{max}=55\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy...
2,
\(ab\le\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=1\Rightarrow0\le ab\le1\)
\(E=9a^2b^2+6\left(a^3+b^3\right)+5ab\left(a+b\right)+24ab\)
\(=9a^2b^2+6\left(a+b\right)^3-18ab\left(a+b\right)+5ab\left(a+b\right)+24ab\)
\(=9a^2b^2-2ab+48\)
Đặt \(ab=x\Rightarrow0\le x\le1\)
\(E=9x^2-2x+48=\left(x-1\right)\left(9x+7\right)+55\le55\)
\(E_{max}=55\) khi \(x=1\) hay \(a=b=1\)