\(A=\frac{3\left|x\right|+2}{4\left|x\right|-5}=\frac{3}{4}\cdot\frac{4\left(3\left|x\right|+2\right)}{3\left(4\left|x\right|-5\right)}=\frac{3}{4}\cdot\frac{12\left|x\right|+8}{12\left|x\right|-15}=\frac{3}{4}\left(1+\frac{23}{12\left|x\right|-15}\right)\)

A lớn nhất khi \(\frac{23}{12\left|x\right|-15}\) lớn nhất => 12|x| - 15 nhỏ nhất và 12|x| - 15 > 0 => x = 2

Vậy \(A_{Max}=\frac{3}{4}\left(1+\frac{23}{9}\right)=\frac{8}{3}\) khi x = 2

Mình có một phương pháp giải khác hay! Bạn tham khảo nhé!

\(D=\frac{x-7}{x-15}=\frac{x-15+8}{x-15}=1+\frac{8}{x-15}\)

Do vậy D lớn nhất khi \(\frac{8}{x-15}\) lớn nhất. 

Mà \(\frac{8}{x-15}\) lớn nhất khi x - 15 nhỏ nhất ( x-15 > 0 vì nếu x-15 < 0 thì \(\frac{8}{x-15}\) có giá trị âm,nếu x - 15 = 0 thì \(\frac{8}{x-15}\) vô nghĩa)

_ Với x - 15 >0 thì \(x-15\ge1\Rightarrow\frac{8}{x-15}\le8\)

Do đó \(D=1+\frac{8}{x-15}\le1+8=9\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-15=1\Leftrightarrow x=16\)

Vậy \(D_{max}=9\Leftrightarrow x=16\)

Hổng bít ! Lên google đi ha ^~^ ^-^

Lời giải:

Sử dụng bổ đề: Với \(a,b>0\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\)

BĐT đúng vì nó tương đương với \((a-b)^2(a+b)\geq 0\) (luôn đúng)

Áp dụng vào bài toán:

\(P\leq \frac{1}{x^3yz(y+z)+1}+\frac{1}{y^3xz(x+z)+1}+\frac{1}{z^3xy(x+y)+1}\)

\(\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{x^2(y+z)+xyz}+\frac{1}{y^2(x+z)+xyz}+\frac{1}{z^2(x+y)+xyz}\)

\(\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{x(xy+yz+xz)}+\frac{1}{y(xy+yz+xz)}+\frac{1}{z(xy+yz+xz)}=\frac{xy+yz+xz}{xy+yz+xz}=1\)

Vậy \(P_{\max}=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)

a) A = 5 - | 2x - 1| 

để A lớn nhất thì 5- | 2x- 1| phải lớn nhất => | 2x - 1| phải nhỏ nhất

vì GTNN của | 2x - 1| = 0  =>max A = 5 - |2x - 1| = 5 - 0 = 5

b) \(B=\frac{1}{\left(x-2\right)+3}\) để B lớn nhất thì \(\frac{1}{\left(x-2\right)+3}\) phải lớn nhất 

=> ( x - 2 ) + 3 phải nhỏ nhất => ( x - 2)+ 3 = 1 ( vì mẫu ko thể bằng 0)

=> \(max\) \(B=1\)

c) \(c=\frac{x+2}{\left(-x\right)}\) để C lớn nhất thì \(\frac{x+2}{-x}\)phải lớn nhất

=> -x phải là số nguyên dương nhỏ nhất, => -x = 1 ; x = -1

=> \(max\) \(C=\frac{x+2}{-x}=\frac{-1+2}{1}=1\)

nhớ k nha!

Lời giải:

Đặt \((x,y,z)=(2a,b,2c)\Rightarrow a,b,c\in\left [ 0;1 \right ]\)

Bằng cách dự đoán điểm rơi, ta sẽ đi chứng minh $P\leq 2$, tức là CM:

\(P=(1-a)(1-b)(2-c)+\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}\leq 2\). Thật vậy.

AM-GM cho bộ $1-a,1-b,a+b+1$ dương, ta có:

\(3=1-a+1-b+a+b+1\geq 3\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(a+b+1)}\)

\(\Rightarrow (1-a)(1-b)(a+b+1)\leq 1\rightarrow (1-a)(1-b)(2-c)\leq \frac{2-c}{a+b+1}\)

Cần CM: \(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{2}{a+b+1}\leq 2\)\(\Leftrightarrow \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}\leq \frac{2a+2b}{a+b+1}\)

Hiển nhiên đúng vì \(b+c+1,a+c+1>\frac{a+b+1}{2}\forall a,b,c\in [0;1]\)

Vậy \(P_{max}=2\Leftrightarrow a=b=0;c\in [0;1]\)

Ta có : Để M=\(\left(\frac{4}{x-4}-\frac{4}{x+4}\right)\left(\frac{x^2+8x+16}{32}\right)=0\)

<=> M=\(\left(\frac{4\left(x+4\right)-4\left(x-4\right)}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}\right)\left(\frac{\left(x+4\right)^2}{32}\right)=0\)

<=>M=\(\left(\frac{4x+16-4x+16}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}\right)\left(\frac{\left(x+4\right)^2}{32}\right)\)

<=>M=\(\left(\frac{32}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}\right)\left(\frac{\left(x+4\right)^2}{32}\right)\)

<=>M=\(\frac{x+4}{x-4}\)

b) Thay x=\(\frac{-3}{8}\) vào M:

M=\(\frac{x+4}{x-4}=\frac{\frac{-3}{8}+4}{\frac{-3}{8}-4}=\frac{-29}{35}\)

c)Hình như sai!

d)