Ta có:\(A=n^3+3n^2+5n+3\)=\(n^3-n+3n^2+6n+3\)

=\(n\left(n^2-1\right)+3\left(n^2+2n+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)^2\)

Vì \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\)

Mà \(3\left(n+1\right)^2⋮3\) nên \(A=n^3+3n^2+5n+3⋮3\) với mọi n

vì 3n^2 và 3 chia hết cho 3 nên xét n^3 + 5n = n(n^2 + 5)

nếu n chia hết cho 3 thì ....

nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 chia 3 dư 1 suy ra n^2 + 5 chia hết cho 3

ta có n là số nguyên dương => n là số tự nhiên khác 0

A = n³ + 3n² + 5n +3

   = (n³ - n) + 3(n² +2n +1)

   = n(n - 1)(n + 1) + 3(n² + 2n +1)

ta thấy n(n-1)(n+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp

mà tích 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 

=> n(n-1)(n+1) chia hết cho 3

mặc khác 3(n² + 2n +1) luôn chia hết cho 3

=> n(n-1)(n+1) + 3(n² + 2n +1) chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương

=> n³ + 3n² + 5n +3 luôn chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương

a) \(n^3+3n^2+2n=n^3+n^2+2n^2+2n\)

\(=n^3+n^2+2n^2+2n\)

\(=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)

\(=\left(n^2+2n\right)\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+2\right)\left(n+1\right)\)

Vì n, n+1, n+2 là 3 số nguyên liên tiếp, mà trong 3 số nguyên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3

=>n³+3n²+2n chia hết cho 3

b)Để A chia hết cho 15 thì A phải chia hết cho 3 và 5

Ta đã chứng minh được A chia hết cho 3 với mọi số nguyên n ở phần a)

A chia hết cho 5 <=> n(n+1)(n+5) chia hết cho 5

+)Nếu n chia hết cho 5

=>n\(\in\){0;5}

+)Nếu n+1 chia hết cho 5

=>n\(\in\){4;9}

+)Nếu n+2 chia hết cho 5

=>n\(\in\){3;8}

Vậy n\(\in\){0;3;4;5;8;9} thì A sẽ chia hết cho 15

Trả My làm đúng nhưng phần b cậu thừa 1 đáp án nhé. Vì đề bài cho là tìm giá trị nguyên dương của n mà số 0 không phải là số nguyên dương cũng không phải số nguyên âm đâu nên loại đáp án là 0.

A=n^3+3n^2+5n+3

=n^3+5n+3n^2+3

=n(n^2+5)+3(n^2+1)

do 3(n^2+1) luôn chia hết cho 3 nên mik chỉ xét n(n^2+5)

đặt n=3k suy ra 3k((3k)^2+5) luôn chia hết cho 3 suy ra A chia hết cho 3

đặt n=3k+1 suy ra (3k+1)((3k+1)^2+5)=(3k+1)(9k^2+6k+1+5)=(3k+1)(9k^2+6k+6)=(3k+1)3(3k^2+2k+2) chia hết cho 3 suy ra A chia hết cho 3

đặt n=3k+2 suy ra (3k+2)((3k+2)^2+5)=(3k+2)(9k^2+12k+4+5)=(3k+2)(9k^2+12k+9)=(3k+2)3(3k^2+4k+3) chia hết cho 3 suy ra A chia hết cho 3 

vậy A luôn chia hết cho 3 với mọi giá trị của n

\(A=n^3+3n^2+5n+3\)

\(A=n^3+3n^2+2n+3n+3\)

\(A=n^3+n^2+2n^2+2n+3n+3\)

\(A=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)+3n+3\)

\(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\)

Vì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\forall n\in Z^+\)

Lại có:\(3\left(n+1\right)⋮3\forall n\in Z^+\)

\(\Rightarrow A⋮3\left(đpcm\right)\)

Khó nhờ!