a: Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: ED//BC

Xét tứ giác BCDE có ED//BC

nên BCDE là hình thang

mà BD=CE

nên BCDE là hình thang cân

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{E là trung điểm AB}\\\text{D là trung điểm AC}\end{matrix}\right.\)

mà AB=AC ( tam giác ABC cân tại A)

⇒ AE=BE=AD=DC

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{D là trung điểm AC}\\\text{F là trung điểm BC}\end{matrix}\right.\)

⇒ DF là đường trung bình tam giác ABC đáy AB

⇒ DF//AB mà DF=AE

⇒ AEFD là hình bình hành (1)

Vì BEDF là hình bình hành 

⇒ BE=DF mà BE=AD

⇒ AD=DF (2)

Từ (1) và (2) 

⇒ ADFE là hình thoi

Vì BEDF là hình bình hành (gt)

=> BE // DF , BE = DF

mà BE = AE (E là trung điểm AB)

=> AE = DF

Xét tứ giác ADFE có : AE = FD (cmt)

                                    AE // FD (BE // FD mà E ∈ AB)

=> Tứ giác ADFE là hình bình hành

Vì tam giác ABC cân tại A có F là trung điểm BC

=> AF là đường cao của tam giác ABC

=> AF ⊥ BC (1)

Vì tứ giác BCDE là hình thang (gt)

=> BC // DE (2)

Từ (1) và (2) => AF ⊥ ED (từ vuông góc đến song song) 

Xét hình bình hành ADFE có : AF ⊥ ED mà AF và ED là 2 đường chéo

=> hình bình hành ADFE là hình thoi (DHNB)

a/ Do E,D,F lần lượt là trung điểm của AB,AC,BC (gt)
=> ED,EF,FE là các đường trung bình tam giác ABC.
=> ED // và = BC/2; EF // và = AB/2 và DF // và = AC/2.
Xét tứ giác DECB có ED // BC => DECB là hình thang. Mặt khác DECB lại có góc B = góc C => DECB là hình thang cân.

b/ Do EF // AB => EF // BD. DE // BC => DE // BF, xét tứ giác BDEF có EF // BD và DE // BF (C/m trên) => BDEF là hình bình hành

c/ Ta có: EF = AB/2; DF = AC/2 (c/m ở trên) AD = AB/2 và AE = AC/2 (gt). Mà AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)
Từ những điều đó

=> EF = DF = AD = AE => ADFE là hình thoi.
 

a,Tam giác ABC cân tại A nên AB=AC

E là trung điểm của AB nên EB=1/2*AB

D là trung điểm của AC nên DC=1/2*AC

nên EB=DC và ED là đường trung bình của tam giác ABC

tức ED//DC 

Xét tứ giác BEDC có : ED//BC

                                  BE=DC

suy ra tứ giác BCDE là htc

b, Ta thấy F là trung điểm của BC

               D là trung điểm của AC

nên FD là đường trung bình của tam giác ABC

hay FD//AB mà ED//BC(cmt)

nên tứ giác BEDF là hbh

c,Chứng minh tương tự câu b ta được tứ giác AEFD là hbh

mà FD là đường trung bình của tam giác ABC nên FD=AE=EB

từ đây suy ra tứ giác AEFD là hình thoi

#CBHT

Bài 1:

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

Bài 4 :

Để tứ giác ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{DAB}=\widehat{DCB}=120^o\\\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\end{cases}}\)

Lại có : \(\widehat{DAB}+\widehat{DCB}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=120^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=60^o\)

Tâm Trương             

Đề sai