\(a.\)Ta có:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

\(AM-GM:\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\left(đpcm\right)\)

\(b.\)Nếu x,y dương thì Áp dụng BĐT Cô-si ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{y}.\frac{3y}{x}}=6\)hay\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge6\left(đpcm\right)\)

Nếu x,y âm ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}=\frac{3x^2}{xy}+\frac{3y^2}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3x^2}{xy}.\frac{3y^2}{xy}}=6\left(đpcm\right)\)

Gọi a/b với a > 0, b > 0 là phân số đã cho và b/a là phân số nghịch đảo của nó . Không mất tính tổng quát giả sử 0 < a ≤ b.

Đặt b = a + m (m ∈ Z, m ≥ 0)

Ta có:

Và  (dấu "=" xảy ra khi m = 0)

Suy ra: 

Từ (1) và (2) suy ra:

, (dấu "=" xảy ra khi m = 0 hay a = b )

Giả sử phân số và nghịch đảo của nó là: \(\frac{a}{b};\frac{b}{a}\)

Do phân số dương nên( a;b) cùng dấu hay a.b>0

Ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)

Do đó: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Gọi phân số dương là \(\dfrac{a}{b}\) . ( Không mất tính tổng quát )

Cho \(a>0,\) \(b>0\) và \(a\ge b\) . Ta có thể viết \(a=b+m\left(m\ge0\right)\) .

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}\ge1+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m+b}{b+m}=2\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b\left(m=0\right)\)

Gọi a/b với a > 0, b > 0 là phân số đã cho và b/a là phân số nghịch đảo của nó . Không mất tính tổng quát giả sử 0 < a ≤ b.

Đặt b = a + m (m ∈ Z, m ≥ 0)

Ta có:

Và (dấu "=" xảy ra khi m = 0)

Suy ra:

Từ (1) và (2) suy ra:

, (dấu "=" xảy ra khi m = 0 hay a = b )

 Gọi phân số đó là a/b (ĐK: a,b # 0, a và b cùng dấu ) 
a/b + b/a ≥ 2 <=> (a² + b ²)/ab ≥ 2 
<=> a² - 2ab + b² ≥ 0 
<=> ( a – b )² ≥ 0 ( Luôn đúng với mọi a, b) 
=> Đpcm 

 

mk giải đc nè, tick mk nha!!

Gọi phân số  dương là a/b. Ko mất tính tổng quát, giả sử như: a>0, b>0 và a  > b. Ta có thể viết a=b+m ( m > 0). Ta có:

a/b+b/a=b+m/b+b/m+b=1+m/b+b/b+m >  1+ m/b+m+b/b+m=1+m+b/b+m=2.

Vậy a/b+b/a > 2.

Gọi phân số dương là a/b. Không mất tính tổng quát, giả sử a>0, b>0 và a\(\ge\)b. Ta có thể viết a=b+m (m\(\ge\)0). Ta có:

(a/b)+(b/a)=b/(b+m)\(\ge\)1+[m/(b+m)]+[b/(b+m)]=1+[(m+b)/(b+m)]=2.

Vậy (a/b)+(b/a)=2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b (m=0).

nói thật thì đó là toán lớp 8, lớp 9 chứ k phải lớp 6

gọi phân số đó là a/b, vì phân số dương => a.b dương. Ta phải đi chứng minh a/b+b/a lớn hơn hoặc bằng 2

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a^2-ab-ab+b^2}{ab}+2=\frac{a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)}{ab}+2\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+2\ge2\)(vì (a-b)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 và ab>0 => phân số đầu tiên không âm, suy ra tổng không nhỏ hơn 2)

Ai chs opoke đại chiên lh mik nha! Đỏi lấy nick olm hoặc cho mik

đọc chưa hiểu ?!!!!.....?

Giả sử phân số và nghịch đảo của nó là \(\frac{a}{b};\frac{b}{a}\)

Do phân số dương nên \(a;b\)cùng dấu hay \(a.b>0\)

Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)

Do đó \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Đúng rùi

Gọi phân số dương là \(\frac{a_1}{a_2}\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(a_1\ge a_2>0\). Ta có thể viết \(a_1=a_2+m\)\(\left(m\inℕ\right)\). Ta có:
\(\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_2+m}{a_2}+\frac{a_2}{a_2+m}=1+\frac{m}{a_2}+\frac{a_2}{a_2+m}\ge1+\frac{m}{a_2+m}+\frac{a_2}{a_2+m}=1+\frac{m+a_2}{a_2+m}=2\)
Vậy \(\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1}\ge2\).
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a_1=a_2\)\(\left(m=0\right)\).

Ta gọi phân số đó là \(\frac{a}{b}\) ,vì phân số dương\(\Rightarrow a.b=\)dương .

Ta chúng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a^2-ab-ab+b^2}{ab}+2=\frac{a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)+2}{ab}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+2\ge2\)

Vì :

\(\left(a-b\right)^2\ge0\) và \(ab>0\)

\(\Rightarrow\)Phân số không âm .

\(\Rightarrow\)Tổng không bé hơn 2