Question

Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2 ?

Answer 1

Gọi phân số dương là \(\dfrac{a}{b}\) . ( Không mất tính tổng quát )

Cho \(a>0,\) \(b>0\) và \(a\ge b\) . Ta có thể viết \(a=b+m\left(m\ge0\right)\) .

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}\ge1+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m+b}{b+m}=2\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b\left(m=0\right)\)

Answer 2

Gọi a/b với a > 0, b > 0 là phân số đã cho và b/a là phân số nghịch đảo của nó . Không mất tính tổng quát giả sử 0 < a ≤ b.

Đặt b = a + m (m ∈ Z, m ≥ 0)

Ta có:

Và (dấu "=" xảy ra khi m = 0)

Suy ra:

Từ (1) và (2) suy ra:

, (dấu "=" xảy ra khi m = 0 hay a = b )