Question

Chứng minh rằng tổng của 1 phân số dương với số nghịch đảo của nó thì lớn hơn hoặc bằng 2

Answer 1

Xét phân số dương \(\dfrac{a}{b}\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(a>0,b>0,a\ge b\).

Khi đó \(a=b+m\left(m\ge0\right)\). Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1+\dfrac{b}{b+m}+\dfrac{m}{b+m}=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)

Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\). Dấu "=" xảy ra khi a = b (m = 0)

Answer 2

Gọi một phân số dương bất kì là \(\dfrac{a}{b}\)(a; b > 0) thì phân số nghịch đảo của nó là \(\dfrac{b}{a}\). Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{ab}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)

+ Nếu a > b thì a² + b² > 2b² > 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}>2\)

+ Nếu a < b thì a² + b² > 2a² > 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}>2\)

+ Nếu a = b thì a² + b² = 2a² = 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}=2\)

Vậy tổng 1 phân số dương với số nghịch đảo của nó \(\ge\) 2

+ Nếu a = b thì a²