a) Ta có:

$\frac{A{B}^{\prime }}{AB}$ = $\frac{A{C}^{\prime }}{AC}$ => $\frac{AC}{A{C}^{\prime }}$ = $\frac{AB}{A{B}^{\prime }}$

=> $\frac{AC}{A{C}^{\prime }}$ - 1 = $\frac{AC-A{C}^{\prime }}{A{C}^{\prime }}$ = $\frac{AB-A{B}^{\prime }}{A{B}^{\prime }}$

=> $\frac{C{C}^{\prime }}{A{C}^{\prime }}$ = $\frac{B^{\prime }B}{A{B}^{\prime }}$ => $\frac{A{B}^{\prime }}{B{B}^{\prime }}$ = $\frac{A{C}^{\prime }}{C{C}^{\prime }}$

b) Vì $\frac{A{B}^{\prime }}{AB}$ = $\frac{A{C}^{\prime }}{AC}$ mà AB' = AB - B'B, AC' = AC - C'C.

a) Ta có:

\(\dfrac{AB'}{AB}=\dfrac{AC'}{AC}\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AB'}{AC'}\)

Áp dụng tc dãy tỉ số bằng nhau ta có;

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AB'}{AC'}=\dfrac{AB-AB'}{AC-AC'}=\dfrac{BB'}{CC'}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB'}{AC'}=\dfrac{BB'}{CC'}\Leftrightarrow\dfrac{AB'}{BB'}=\dfrac{AC'}{CC'}\)

b) Ta có:

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BB'}{CC'}\left(cmt\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{BB'}=\dfrac{AC}{CC'}\Leftrightarrow\dfrac{BB'}{AB}=\dfrac{CC'}{AC}\)

Bài 2:

a: Gọi I là trung điểm của MC

Ta có: \(MI=IC=\dfrac{MC}{2}\)

\(AM=\dfrac{MC}{2}\)

Do đó: AM=MI=IC

=>AM=MI

=>M là trung điểm của AI

Xét ΔBMC có

D,I lần lượt là trung điểm của CB,CM

=>DI là đường trung bình của ΔBMC

=>DI//BM và \(DI=\dfrac{BM}{2}\)

DI//BM

O\(\in\)BM

Do đó: DI//OM

Xét ΔADI có

M là trung điểm của AI

MO//DI

Do đó: O là trung điểm của AD

b: Xét ΔADI có O,M lần lượt là trung điểm của AD,AI

=>OM là đường trung bình của ΔADI

=>\(OM=\dfrac{1}{2}DI=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot BM=\dfrac{1}{4}BM\)

Bài 1:

a: \(\dfrac{AB'}{AB}=\dfrac{AC'}{AC}\)

=>\(\dfrac{AB}{AB'}=\dfrac{AC}{AC'}\)

=>\(\dfrac{AB-AB'}{AB'}=\dfrac{AC-AC'}{AC'}\)

=>\(\dfrac{BB'}{AB'}=\dfrac{CC'}{AC'}\)

=>\(\dfrac{AB'}{BB'}=\dfrac{AC'}{CC'}\)

b: Ta có: \(\dfrac{AB'}{BB'}=\dfrac{AC'}{CC'}\)

=>\(\dfrac{AB'+BB'}{BB'}=\dfrac{AC'+CC'}{CC'}\)

=>\(\dfrac{AB}{BB'}=\dfrac{AC}{CC'}\)

=>\(\dfrac{BB'}{AB}=\dfrac{CC'}{AC}\)

Qua $A$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt ��′BB′ tại $D$ và cắt ��′CC′ tại $E$.

Khi đó 

$\Delta AME$ có $AE$ // �′�A′C suy ra ���′�=���′�A′MAM​=A′CAE​ (1)

$\Delta AMD$ có $AD$ // �′�A′B suy ra ���′�=���′�A′MAM​=A′BAD​ (2)

Từ (1) và (2) ta có ���′�=���′�=���′�=��+���′�+�′�=����A′MAM​=A′CAE​=A′BAD​=A′C+A′BAD+AE​=BCDE​ (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

Δ��′�ΔAB′D có $AD$ // $BC$ suy ra ��′�′�=����B′CAB′​=BCAD​ (3)

Δ��′�ΔAC′E có $AE$ // $BC$ suy ra ��′�′�=����C′BAC′​=BCAE​ (4)

Từ (3) và (4) ta có ��′�′�+��′��′=����+����=����B′CAB′​+BC′AC′​=BCAD​+BCAE​=BCDE​ (**)

Từ (*) và (**) ta có ���′�=����=��′�′�+��′��′A′MAM​=BCDE​=B′CAB′​+BC′AC′​ (đpcm).

Qua $A$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt ��′BB′ tại $D$ và cắt ��′CC′ tại $E$.

Khi đó 

$\Delta AME$ có $AE$ // �′�A′C suy ra ���′�=���′�A′MAM​=A′CAE​ (1)

$\Delta AMD$ có $AD$ // �′�A′B suy ra ���′�=���′�A′MAM​=A′BAD​ (2)

Từ (1) và (2) ta có ���′�=���′�=���′�=��+���′�+�′�=����A′MAM​=A′CAE​=A′BAD​=A′C+A′BAD+AE​=BCDE​ (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

Δ��′�ΔAB′D có $AD$ // $BC$ suy ra ��′�′�=����B′CAB′​=BCAD​ (3)

Δ��′�ΔAC′E có $AE$ // $BC$ suy ra ��′�′�=����C′BAC′​=BCAE​ (4)

Từ (3) và (4) ta có ��′�′�+��′��′=����+����=����B′CAB′​+BC′AC′​=BCAD​+BCAE​=BCDE​ (**)

Từ (*) và (**) ta có ���′�=����=��′�′�+��′��′A′MAM​=BCDE​=B′CAB′​+BC′AC′​ (đpcm).

AB