Ta có :

\(S_{DEF}=DE.DF\)

\(S_{DEF}=DG.EF\)

\(\Rightarrow DE.DF=DG.EF\)

a, Ta gọi \(S_{DEF}=S\) .Xét tam giác vuông DEF có:

\(2S=DE.DF\)

\(2S=DG.FE\)

Từ đó ta có: \(DE.DF=DG.FE\left(=2S\right)\)

b, Ta lại có \(DE.DF=2S\) \(\Rightarrow DE=\dfrac{2S}{DF}\Leftrightarrow\dfrac{1}{DE}=\dfrac{DF}{2S}\Leftrightarrow\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{DF^2}{4S^2}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{DF^2}=\dfrac{DE^2}{4S^2};\dfrac{1}{DG^2}=\dfrac{EF^2}{4S^2}\)

Áp dụng định lý Pytagore vào tam giác vuông DEF: \(DE^2+DF^2=EF^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{DF^2}+\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{DE^2}{4S^2}+\dfrac{DF^2}{4S^2}=\dfrac{EF^2}{4S^2}=\dfrac{1}{DG^2}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

???????????????

xét hai tam giác vuông EDF và tam giác vuông DGF có ^EDF= ^DGF (=90 độ) ^DFE= ^GFD ( góc F chung) vậy tam giác EDF đồng dạng với tam giác DGF (g.g) => DE/DG = FE/DF => DE.DF = DG.FE (đpcm)

Ta có: DE.DF = 2.\(\dfrac{1}{2}\).DE.DF = 2S_ΔDEF

DG.FE = 2.\(\dfrac{1}{2}\).DG.FE = 2S_ΔDEF

=> DE.DF = DG.FE (= 2S_ΔDEF)

Phần B ???

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

lê anh tú ăn cứt