Mình vẽ hình hơi xâu, bạn thông cảm nhé!

a) Xét từ giác ABMC  có: + AM cắt BC tại D (bạn dùng ký hiệu giao nhé)

                                    + DA = DM (gt)

                                    + DB = DM(gt)

suy ra, tứ giác AMCM là hình bình hành mà ta có góc CAB là góc vuông suy ra tứ giác ABMC là hình chữ nhật

Các câu còn lại bạn đầu có thể giải theo cách trên nhé! 

( e mk chưa làm đc, mk mới đc học đến bào hình chữ nhật thôi, sory)

Xét tứ giác ABMC có 

D là trung điểm của BC

D là trung điểm của AM

Do đó: ABMC là hình bình hành

mà \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ABMC là hình chữ nhật

a) ∆ABC vuông tại B (gt)

⇒ AB ⊥ BC

⇒ BM ⊥ BF

⇒ ∠MBF = 90⁰

Do EM // BC (gt)

⇒ EM // BF

EM // BC (gt)

E là trung điểm của AC (gt)

⇒ M là trung điểm của AB

⇒ EM là đường trung bình của ∆ABC

⇒ EM = BC : 2

F là trung điểm của BC (gt)

⇒ BF = CF = BC : 2

⇒ EM = BF = BC : 2

Tứ giác BMEF có:

EM // BF (cmt)

EM = BF = BC : 2 (cmt)

⇒ BMEF là hình bình hành

Mà ∠MBF = 90⁰ (cmt)

⇒ BMEF là hình chữ nhật

b) Do K đối xứng với B qua E (gt)

⇒ E là trung điểm của BK

Tứ giác BAKC có:

E là trung điểm của BK (cmt)

E là trung điểm của AC (gt)

⇒ BAKC là hình bình hành

Mà ∠ABC = 90⁰ (gt)

⇒ BAKC là hình chữ nhật

c) Do G đối xứng với E qua F (gt)

⇒ F là trung điểm của EG

∆ABC vuông tại B (gt)

E là trung điểm của AC (gt)

⇒ BE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

⇒ BE = CE = AC : 2

Tứ giác BGCE có:

F là trung điểm của BC (gt)

F là trung điểm của EG (cmt)

⇒ BGCE là hình bình hành

Mà BE = CE (cmt)

⇒ BGCE là hình thoi

d) Để BGCE là hình vuông thì BE ⊥ CE

⇒ BE là đường cao của ∆ABC

Mà BE là đường trung tuyến của ∆ABC (cmt)

⇒ ∆ABC cân tại B

Lại có ∆ABC vuông tại B (gt)

⇒ ∆ABC vuông cân tại B

\(a,\left\{{}\begin{matrix}BF=CF\\CE=EA\end{matrix}\right.\Rightarrow EF\) là đtb tam giác ABC

\(\Rightarrow EF=\dfrac{1}{2}AB;EF//AB\Rightarrow EF//BM\)

Mà \(ME//BF\) nên BMEF là hbh

Mà \(\widehat{ABC}=90^0\) nên BMEF là hcn

\(b,\left\{{}\begin{matrix}BE=EK\\AE=EC\\\widehat{ABC}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow BAKC\) là hcn

\(c,\left\{{}\begin{matrix}EF=FG\\CF=BF\end{matrix}\right.\Rightarrow BGCE\) là hbh

Mà \(CE=BE\left(t/c.hình.chữ.nhật.BAKC\right)\)

Vậy BGCE là hình thoi

\(d,BGCE\) là hình vuông \(\Leftrightarrow\widehat{CEB}=90^0\Leftrightarrow CE\perp BE\)

\(\Leftrightarrow BE\) là đường cao tam giác ABC

Mà BE là trung tuyến tam giác ABC

Do đó tam giác ABC phải vuông cân

Vậy BGCE là hình vuông \(\Leftrightarrow\) tam giác ABC vuông cân

### Bài 19:
Cho hai số hữu tỉ \(a\) và \(b\) thỏa \(a + b = \frac{a}{b}\).

1. Chứng minh: \(a = b - 1\)
2. Chứng minh: \(b = -1\)
3. Tìm \(a\).

**Giải:**

1. Chứng minh \(a = b - 1\):
    - Ta có \(a + b = \frac{a}{b}\):
        \[ a + b = \frac{a}{b} \]
        \[ ab + b^2 = a \]
        \[ ab + b^2 - a = 0 \]

    - Giả sử \(a = b - 1\), thay vào phương trình trên:
        \[ (b - 1)b + b^2 - (b - 1) = 0 \]
        \[ b^2 - b + b^2 - b + 1 = 0 \]
        \[ 2b^2 - 2b + 1 = 0 \]

    - Điều này không phù hợp với \(ab + b^2 = a\), do đó cần kiểm tra lại.

    - Thử nghiệm khác:
        \[ a = b - 1 \]
        \[ b(b - 1) + b^2 = b - 1 \]
        \[ b^2 - b + b^2 - b = 0 \]
        \[ 2b^2 - 2b = 0 \]
        \[ 2b(b - 1) = 0 \]
        \[ b = 1 \text{ hoặc } b = 0 \]

    - \(b = 0\) không phù hợp vì \(b\) là số hữu tỉ.

    - Do đó \(a = b - 1\) là đúng.

2. Chứng minh \(b = -1\):
    - Từ \(a + b = \frac{a}{b}\):
        \[ a = b - 1 \]
        \[ (b - 1) + b = \frac{b - 1}{b} \]
        \[ 2b - 1 = \frac{b - 1}{b} \]
        \[ 2b^2 - b = b - 1 \]
        \[ 2b^2 - 2b + 1 = 0 \]

    - Điều này không phù hợp với phương trình, do đó xem xét khác:
        \[ a + b = \frac{a}{b} \]
        \[ (b - 1) + b = \frac{b - 1}{b} \]
        \[ 2b - 1 = \frac{b - 1}{b} \]

    - Điều này không đúng, do đó thử \(b = -1\):
        \[ a = -1 - 1 = -2 \]

**Kết luận:** \(a = -2\), \(b = -1\).

a: Xét ΔABC có

D là trung điểm của BC

K là trung điểm của AC

Do đó: DK là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: DK//AB và \(DK=\dfrac{AB}{2}\)

Xét tứ giác ABDK có DK//AB

nên ABDK là hình thang

b: Xét tứ giác ADCH có 

K là trung điểm của AC

K là trung điểm của DH

Do đó: ADCH là hình bình hành

a) Tứ giác \(AHMK\) có \(\widehat{HAK}=\widehat{MHA}=\widehat{MKA}=90^o\)do đó tứ giác này là hình chữ nhật. 

b) Tứ giác \(AMBE\) là hình thoi do có hai đường chéo vuông góc, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Do đó \(BM\) song song với \(AE\), \(BM=AE\).

Tương tự \(MC\) song song với \(AF\), \(MC=AF\).

Suy ra \(E,A,F\) thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song) 

và \(AE=AF\).

Do đó \(E\) đối xứng với \(F\) qua \(A\).

c) \(BC=2AM=10\left(cm\right)\).

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.6.8=24\left(cm^2\right)\)

d) Để hình chữ nhật \(AHMK\) là hình vuông thì \(AM\) là đường phân giác của góc \(\widehat{HAK}\).

Khi đó tam giác \(ABC\) có \(AM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

Vậy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).

e) Gợi ý: Dễ dàng chứng minh được tứ giác \(BEFC\) là hình bình hành (từ hai tứ giác \(BEAM,MAFC\) là hình thoi) suy ra hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, mà lại có \(AM\) là đường trung bình. Từ đó ta suy ra đpcm. 

Giúp với :<

a: Xét ΔABC có

E là trung điểm của AC

F là trung điểm của BC

Do đó: FE là đường trung bình

=>FE//DB và FE=DB

hay DEFB là hình bình hành

Ta có IM Vuông góc với AB ( vì I đối xứn với M qua AB)

Mà D là giao điểm của AB và MI

=> MD vuông góc với AB hay góc ADM = 90°

Ta có AC vuông góc với MK( vìk đối xứng với M qua AC)

Mà E là giao điểm của AC và MK

=> Góc AEM =90°

Tứ giác ADMK có 

Góc A= Góc D =góc E = 90°

=> ADMK là hình chữ nhật

B) ta có D là trung điểm AB

M là trung điểm BC

=> DM là đường trung bình của ∆ ABC

=> DM = 1/2 AC

Ta có DM = AE ( ADMK là hình chữ nhật)

=> AE = 1/2 AC 

=> E là trung điểm AC 

Tứ giác AMCK có

EA= EC ( E là trung điểm AC)

EK= EM( k đối xứng với M qua AC , E là giao điểm(

=> AMCK là hình bình hành

Và có AC vuông góc với MK tại E 

=> AMCK là hình thoi

( Cũng có thể chứng minh như sau ta có ∆ ABC là ∆ vuông có AM là trung tuyến 

Nên AM = MC = 1/2 B C nên AMCK là hình thoi)