ABCD là hình chữ nhật

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường và AC=BD

=>O là trung điểm chung của AC và BD

ABCD là hình chữ nhật

=>AB=CD=2a; BC=AD

O là trung điểm của AC

=>\(AC=2\cdot AO=2a\cdot\sqrt{5}\)

=>\(BD=2a\sqrt{5}\)

ABCD là hình chữ nhật

=>ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(BC^2=AC^2-AB^2=\left(2a\sqrt{5}\right)^2-\left(2a\right)^2=20a^2-4a^2=16a^2\)

=>BC=4a

=>\(\left|\overrightarrow{BC}\right|=4a\)

\(\widehat{ABC}=120^0\Rightarrow\widehat{DAB}=180^0-120^0=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\) đều

Gọi E là trung điểm AD \(\Rightarrow\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\)

\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}\)

Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|^2=\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{4}{9}AB^2+\dfrac{16}{9}AD^2-\dfrac{16}{9}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\)

\(=\dfrac{4}{9}.4a^2+\dfrac{16}{9}4a^2-\dfrac{16}{9}.2a.2a.cos60^0=\dfrac{16}{3}a^2\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\dfrac{4a\sqrt{3}}{3}\)

\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\right|=BD=a\sqrt{6}\)

1) hình tự vẽ nhé

a) Vì ABCD là hình thoi (gt)

\(\Rightarrow AB=BC\left(đn\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)cân tại B

Mà \(\widehat{B}=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)là tam giác đều

b) Vì \(\Delta ABC\)đều(cmt)\(\Rightarrow AB=BC=AC=a\)

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo BD và AC

Vì ABCD là hình thoi (gt) \(\Rightarrow DB\perp AC\left(tc\right)\)

\(\Rightarrow BO\perp AC\)

Vì tam giác ABC đều mà trong tam giác ABC thì BO là đường cao ứng với cạnh AC

\(\Rightarrow BO\)là đường trung tuyến ứng vs cạnh AC(tc)

\(\Rightarrow O\)là trung điểm của AC

\(\Rightarrow AO=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a\)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác BOC vuông tại O ta được:

\(BO^2+OC^2=BC^2\)

\(BO^2+\frac{1}{4}a^2=a^2\)

\(BO^2=\frac{3}{4}a^2\)

\(\Rightarrow BO=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

Ta có: \(S_{ABC}=\frac{1}{2}BO.AC=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}a}{2}.a\)

                                               \(=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)

CMTT \(S_{ADC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)

\(S_{ABCD}=S_{ADC}+S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\)