Trên tia đối AB lấy I sao cho AI = AB 
- Vẽ hình chữ nhật AINC ( IN // AC ; IN = AC )
Do AB = 1/3 AC => AD = AB => AD=AI . Lấy M thuộc IN sao cho IM = AD 
Ta có hình vuông IAMD => IA = IM = MD = DA 
Xét MBI và CMN 
MI=NC (và IANC là hình chữ nhật)
BI=MN ( vì và IA = IM \Rightarrow )
 (gt)
\Leftrightarrow MBI = CMI (c - g - c)
\Rightarrow  ; BM = CM \Rightarrow  BMC cân ở M (|-)1)
Xét BIM và EAB 
AB = MI 
AE = BI 

\Leftrightarrow BIM = EAB (c - g - c)
\Rightarrow  (góc tương ứng)

Ta có:

Mà:  
\Rightarrow  
\Rightarrow BMC vuông ở M -*2)

Từ (|-)1) và -*2) 
\Rightarrow MCB vuông cân ở M 
\Rightarrow  hay  
Lại có:

\Rightarrow  (đpcm)
:-*:-*:-*:-*:-*|-)|-)|-):-SS:-SS

Cách 1: 
Kẻ DM ∟ AC sao cho DM = AB. 
Dễ dàng chứng minh Δ DMC = Δ AEB (c - g - c) 
=> ^DCM = ^AEB và BE = MC (1) 
Δ BMD = Δ BED (c - g - c) 
=> ^BMD = ^BED và BM = BE (2) 
(1) và (2) cho: 
^DCM = ^BMD và CM = MB 
=> Δ BMC cân tại M 
mà ^DMC + ^DCM = 90o (Δ MDC vuông) 
=> ^DMC + ^BMD = 90o 
=> Δ BMC vuông cân. 
=> BCM = 45o 
Mà ^ACB + ^DCM = ^BCM 
=> ^ACB + ^AEB = 45o (vì ^AEB = ^DCM (cmt)) 
Cách 2: 
Đặt AB = a 
ta có: BD = a√2 
Do DE/DB = DB/DC = 1/√2 
=> Δ DBC đồng dạng Δ DEB (c - g - c) 
=> ^DBC = ^DEB 
Δ BDC có ^ADB góc ngoài 
=> ^ADB = ^DCB + ^DBC 
hay ^ACB + ^AEB = 45o 
Cách 3 
ta có: 
tanAEB = AB/AE = 1/2 
tanACB = AB/AC = 1/3 
tan (AEB + ACB) = (tanAEB + tanACB)/(1 - tanAEB.tanACB) 
= (1/2 + 1/3)/(1 - 1/2.1/3) = 1 = tan45o 
Vậy ^ACB + ^AEB = 45o.

BD² = AB² + AD² = 2AD² = 2DE² = DE*(2DE) = DE*DC 
=> DE / BD = BD / DC => 2 ∆ BDE và CDB đồng dạng (góc tại đỉnh D chung) 
=> góc DEB = góc DBC => góc AEB + góc ACB = góc DEB + góc ACB = 
góc DBC + góc ACB = góc ADB (góc ngoài của ∆) = 45° (do ABD vuông cân) 
---- 
Bạn cũng có thể dùng lượng giác: 
α = góc AEB + góc ACB. Có tg(AEB) = AB / AE = 1 / 2, tg(ACB) = AB / AC = 1 / 3 
Sử dụng tg(α1 + α2) = (tgα1 + tgα2) / (1 - tgα1*tgα2) sẽ có tgα = 1 => α = 45°

b) Ta có: AD+DC=AC(D nằm giữa A và C)

nên DC=AC-AD=3-1=2(cm)

Ta có: DE=AD(gt)

mà AD=1cm(cmt)

nên DE=1cm

Ta có: \(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\dfrac{DE}{DB}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Do đó: \(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{DE}{DB}\)\(\left(=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

Xét ΔBDE và ΔCDB có 

\(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{DE}{DB}\)(cmt)

\(\widehat{BDE}\) chung

Do đó: ΔBDE\(\sim\)ΔCDB(c-g-c)

a) Ta có: AD+DE+EC=AC

mà AD=DE=EC(gt)

nên \(AD=\dfrac{AC}{3}=\dfrac{3}{3}=1\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABD vuông tại A, ta được:

\(BD^2=AB^2+AD^2\)

\(\Leftrightarrow BD^2=1+1=2\)

hay \(BD=\sqrt{2}cm\)

Vậy: \(BD=\sqrt{2}cm\)

a) Ta có: AD=DE=EC(gt)

mà AD+DE+EC=AC

nên \(AD=DE=EC=\frac{AC}{3}=\frac{6}{3}=2cm\)

Áp dụng định lí pytago vào ΔADB vuông tại A, ta được:

\(DB^2=AD^2+AB^2\)

\(\Leftrightarrow DB^2=2^2+2^2=8\)

hay \(DB=\sqrt{8}=2\sqrt{2}cm\)

\(\Rightarrow\frac{DE}{DB}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)(1)

Ta có: DC=DE+EC(E nằm giữa D và C)

hay DC=2+2=4cm

\(\Rightarrow\frac{DB}{DC}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}\)(đpcm)

b) Xét ΔBDE và ΔCDB có

\(\frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}\)(cmt)

\(\widehat{EDB}\) chung

Do đó: ΔBDE∼ΔCDB(c-g-c)

đề bài kiểu j vậy

C ở đâu