a, BD = 17cm

b, AH =  120 17 cm

c, HS tự làm

a: ABCD là hình chữ nhật

=>\(BD^2=BA^2+BC^2\)

=>\(BD^2=5^2+12^2=169\)

=>BD=13(cm)

b: Xét ΔADB vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BD=AB\cdot AD\)

=>\(AH\cdot13=5\cdot12=60\)

=>\(AH=\dfrac{60}{13}\left(cm\right)\)

c: \(\widehat{HDK}+\widehat{HBC}=90^0\)(ΔBDC vuông tại C)

\(\widehat{HIB}+\widehat{HBI}=90^0\)(ΔHBI vuông tại H)

mà \(\widehat{HBC}=\widehat{HBI}\left(I\in BC\right)\)

nên \(\widehat{HDK}=\widehat{HIB}\)

Xét ΔHDK vuông tại H và ΔHIB vuông tại H có

\(\widehat{HDK}=\widehat{HIB}\)

Do đó: ΔHDK đồng dạng với ΔHIB

=>\(\dfrac{HD}{HI}=\dfrac{HK}{HB}\)

=>\(HD\cdot HB=HK\cdot HI\)(1)

Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HD\cdot HB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH^2=HK\cdot HI\)

a,Vì ABCD là hình chữ nhật => BC = AD = 15 cm 

Xét tam giác ABD vuông tại A, đường cao AH 

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABD 

\(BD^2=AB^2+AD^2=64+225=289\Rightarrow BD=17\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AD^2}\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{64}+\frac{1}{225}=\frac{225+64}{64.225}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{289}{14400}\Leftrightarrow AH^2=\frac{14400}{289}\Leftrightarrow AH=\frac{120}{17}\)

b, Xét tam giác AHB vuông tại H đường cao HI 

 \(AH^2=IA.AB\)( hệ thức lượng ) (1) 

Xét tam giác ABD vuông tại A đường cao AH 

\(AH^2=DH.BH\)( hệ thức lượng ) (2) 

Từ (1) ; (2) suy ra \(IA.AB=DH.BH\)( đpcm )

Lời giải:

a) Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD=BC=15$

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông đối với tam giác vuông $ABD$, đường cao $AH$ ta có:

$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{8^2}+\frac{1}{15^2}$

$\Rightarrow AH=\frac{120}{17}$ (cm)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $HAB$:

$HB=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{8^2-(\frac{120}{17})^2}=\frac{64}{17}$ (cm)

$HC=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{15^2-(\frac{120}{17})^2}=\frac{225}{17}$ (cm)

b)

Xét tam giác $DHK$ và $IHB$ có:

$\widehat{DHK}=\widehat{IHB}=90^0$

$\widehat{HDK}=\widehat{HIB}(=90^0-\widehat{HBI})$

$\Rightarrow \triangle DHK\sim \triangle IHB$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{DH}{IH}=\frac{HK}{HB}$

$\Leftrightarrow HI.HK=HB.HD$

Mà $HB.HD=AH^2$ theo hệ thức lượng tam giác vuông

$\Rightarrow HI.HK=AH^2$ (đpcm)

Hình vẽ:

a: BD=17cm

b: \(AH=\dfrac{8\cdot15}{17}=\dfrac{120}{17}\left(cm\right)\)