Để biểu thức trên nguyên thì 2a+1 chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Mà\(a^2+3a-1\) chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Suy ra \(a^2+3a-1+\left(2a+1\right)=a^2+5a\) chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Do đó \(2a^2+10a\) chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Mà \(a\left(2a+1\right)=2a^2+a\)  chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Suy ra \(\left(2a^2+10a\right)-\left(2a^2+a\right)=9a\) chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Do đó 18a cũng  chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Lại có 9(2a+1) = 18a+9 chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Suy ra 9 là bội của \(a^2+3a-1\)

Đến đây dễ dàng làm phần còn lại

a: ĐKXĐ: a>=0; b>=0; ab<>0; a<>1\(M=\dfrac{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\cdot\dfrac{2\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a-1\right)}\)

\(=\dfrac{3a-3\sqrt{ab}-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot\dfrac{1}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a-1\right)}\)

\(=\dfrac{a-2\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}\cdot\dfrac{1}{a-1}=\dfrac{1}{a-1}\)

b: M nguyên khi a-1 thuộc {1;-1}

=>a thuộc {2;0}

1: \(P=\dfrac{3a+3\sqrt{a}-3-a+1-a+4}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

\(=\dfrac{a+3\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\)

2: Để P nguyên thì \(\sqrt{a}-1+2⋮\sqrt{a}-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}-1\in\left\{1;-1;2\right\}\)

hay \(a\in\left\{4;0;9\right\}\)

a) ĐKXĐ: a²-1 ≠0 ⇔ (a-1)(a+1)≠0 ⇔\(\left[{}\begin{matrix}a-1\ne0\\a+1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a\ne1\\a\ne-1\end{matrix}\right.\)

b) A=\(\dfrac{2a^2}{a^2-1}-\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{a}{a-1}\) , a≠1, -1

      =\(\dfrac{2a^2}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\dfrac{a\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\dfrac{a\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\)

      =\(\dfrac{2a^2-a\left(a-1\right)+a\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\)

      =\(\dfrac{2a^2-a^2+a+a^2+a}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\)

      =\(\dfrac{2a^2+2a}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\) =\(\dfrac{2a\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\) =\(\dfrac{2a}{a-1}\)

vậy A =\(\dfrac{2a}{a-1}\) với a≠1,-1.

c) Có:A= \(\dfrac{2a}{a-1}\) = \(\dfrac{2a-2+2}{a-1}=\dfrac{2\left(a-1\right)+2}{a-1}=2+\dfrac{2}{a-1}\)

Để a∈Z thì a-1 ∈ Z ⇒ (a-1) ∈ Ư(2) =\(\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy để biểu thức A có giá trị nguyên thì a∈\(\left\{2;0;3\right\}\)

a) ĐKXĐ: \(a\notin\left\{1;-1\right\}\)

b) Ta có: \(A=\dfrac{2a^2}{a^2-1}-\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{a}{a-1}\)

\(=\dfrac{2a^2}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}-\dfrac{a\left(a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}+\dfrac{a\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}\)

\(=\dfrac{2a^2-a^2+a+a^2+a}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}\)

\(=\dfrac{2a^2+2a}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}\)

\(=\dfrac{2a\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}\)

\(=\dfrac{2a}{a-1}\)

c) Để A nguyên thì \(2a⋮a-1\)

\(\Leftrightarrow2a-2+2⋮a-1\)

mà \(2a-2⋮a-1\)

nên \(2⋮a-1\)

\(\Leftrightarrow a-1\inƯ\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow a-1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

\(\Leftrightarrow a\in\left\{2;0;3;-1\right\}\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(a\in\left\{0;2;3\right\}\)

Vậy: Để A nguyên thì \(a\in\left\{0;2;3\right\}\)

a: A nguyên

=>3a+2 chia hết cho a

=>2 chia hết cho a

=>a thuộc {1;-1;2;-2}

b: B nguyuên

=>2a+2+3 chia hết cho a+1

=>a+1 thuộc {1;-1;3;-3}

=>a thuộc {0;-2;2;-4}

Cộng tử ở 3 p/s lại với nhau, mẫu giữ nguyên

Cộng 2a;5a;3a lại=>10a

Cộng 9+17=>26

 rồi áp dụng dạng toán chia hết là đc

gọi tổng đó là M

M=2a+9/a+3 + 5a+17/a+3 + 3a/a+3

=2a+9+5a+17+3a/a+3

=10a+29/a+3

để M nguyên thì 10a+29 chia hết a+3

ta có:

a+3 chia hết a+3

=>10(a+3) chia hết a+3

10a + 30 chia hết a+3

mà 10a+29 chia hết a+3

=> 10a+30-(10a+29) chia hết a+3

1 chia hết a+3

=> a+3 thuộc ước của 1 thì a=-2;-4

thay a=-2 đc:

M=10.(-2)+29/-2+3=9 

M=10.(-4)+29/-4+3=11

vậy M đạt giá trị nguyên khi và chỉ khi a=-2;-4

\(\frac{2a+9}{a+3}\)+\(\frac{5a+17}{a+3}\)-\(\frac{3a}{a+3}\)=\(\frac{2a+9+5a+17-3a}{a+3}\)=\(\frac{4a+26}{a+3}\)=\(\frac{4a+12+14}{a+3}\)=\(\frac{4a+12}{a+3}\)+\(\frac{14}{a+3}\)=\(\frac{4\left(a+3\right)}{a+3}\)+\(\frac{14}{a+3}\)=4+\(\frac{14}{a+3}\)thuộc Z=>\(\frac{14}{a+3}\)thuộc Z<=>14 chia hết cho a+3                                          =>a+3=-14,-7,-2,-1,1,2,7,14                                                                                                                                                          =>a=-17,-10,-5,-2,-1,4,11