Sử dụng tính chất đường trung bình, ta chứng minh được DE//BC

Xét ΔABC có 

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\)

Do đó: DE//CB

Xét tứ giác BEDC có DE//BC

nên BEDC là hình thang

mà \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

nên BEDC là hình thang cân

a) Ta có: \(AD=DC=\dfrac{AC}{2}\)(D là trung điểm của AC)

\(AE=EB=\dfrac{AB}{2}\)(E là trung điểm của AB)

mà AC=AB(ΔBAC cân tại A)

nên AD=DC=AE=EB

Xét ΔADE có AE=AD(cmt)

nên ΔADE cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

b) Xét ΔADB và ΔAEC có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAD}\) chung

AD=AE(cmt)

Do đó: ΔADB=ΔAEC(c-g-c)

c) Ta có: ΔAED cân tại A(gt)

nên \(\widehat{AED}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔAED cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên ED//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Xét tứ giác BCDE có ED//BC(cmt)

nên BCDE là hình thang có hai đáy là ED và BC(Định nghĩa hình thang)

Hình thang BCDE(ED//BC) có BD=EC(ΔADB=ΔAEC)

nên BCDE là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

a) Ta có :

\(AB=AC\) (Δ ABC cân tại A)

\(\Rightarrow AE+BE=AD+DC\)

mà \(AE=BE\) (CE là trung tuyến nên E là trung điểm AB)

      \(AD=DC\) (BD là trung tuyến nên D là trung điểm AC)

\(\Rightarrow AE=AD\)

Xét Δ ABD và Δ ACE có :

\(AB=AC\) (Δ ABC cân tại A)

Góc A chung

\(AE=AD\left(cmt\right)\)

⇒ Δ ABD = Δ ACE (góc, cạnh, góc)

\(\Rightarrow BD=CE\)

b) Xét tứ giác BCDE có :

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\) (Δ ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\))

\(BD=CE\left(cmt\right)\)

⇒ Tứ giác BCDE là hình thang cân

c) Ta có :

CE là trung tuyến Δ ABC

BD là trung tuyến Δ ABC

⇒ ED là đường trung bình Δ ABC

\(\Rightarrow ED=\dfrac{1}{2}BC\)

mà H là trung điểm BC (Δ ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao và trung tuyến)

\(\Rightarrow ED=BH\)

Xét tứ giác BHDE có :

ED song song BH (BCDE là hình thang cân nên ED song song BC)

\(ED=BH\left(cmt\right)\)

⇒ Tứ giác BHDE là hình bình hành.

Bài 1 :

a) Ta có : \(\hept{\begin{cases}AM=MB\\AN=NC\end{cases}\Rightarrow}\)MN là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN\text{//}BC\) hay \(MN\text{//}HK\left(1\right)\)

Dễ thấy MNKB là hình bình hành => \(\widehat{MNK}=\widehat{ABC}=\widehat{MHB}\)(Vì tam giác AHB vuông có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.) . Mặt khác : \(\widehat{MNK}=\widehat{CKN}\)(hai góc ở vị trí so le trong)

=> \(\widehat{MHB}=\widehat{CKN}\). Mà hai góc này lần lượt bù với \(\widehat{MHK}\)và \(\widehat{HKN}\)=> \(\widehat{MHK}=\widehat{HKN}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNKH là hình thang cân.

b) Dễ thấy HK là đường trung bình tam giác AED => HK // ED hay BC // ED (3) 

Tương tự , MH và NK lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ABE và ACD

=> BE = 2MH ; CD = 2NK mà MH = NK (MNKH là hình thang cân - câu a)

=> BE = CD (4)

Từ  (3) và (4) suy ra BCDE là hình thang cân.

Bài 2 :

a) Ta có : \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=90^o\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE}+\widehat{DAE}\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\)

Xét tam giác BAE và tam giác CAD có : \(AB=AD\left(gt\right)\); \(AC=AE\left(gt\right)\) ; \(\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta CAD\left(c.g.c\right)\Rightarrow CD=BE\)

b) Dễ dàng chứng minh được MP và PN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ACD và tam giác BEC 

=> MP = 1/2CD ; PN = 1/2 BE mà CD = BE => MP = PN => tam giác MNP cân tại P

Để chứng minh góc MPN = 90 độ , hãy chứng minh BE vuông góc với CD.

Ta có hình vẽ:

EA = EB; DA = DC => ED là đường TB của Δ ABC => ED // BC => Tứ giác BCDE là hình thang

 ΔABD =  ΔACE => BD = CE (Hai cạnh tương ứng)

=>  BCDE là hình thang cân

Tham khảo hình ảnh: