Đáp án A

Đáp án B

Vì tam giác IAB cân tại I nên tiếp tuyến phải song song với một trong 2 đường thẳng có phương trình \(y=x;y=-x\).

 Ta có \(y'=\frac{1}{\left(x+2\right)^2}>0;x\ne-2\)

Mọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm thì \(y'\left(x_0\right)=1\Leftrightarrow1=\frac{1}{\left(x_0+2\right)^2}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=-1\\x_0=-3\end{array}\right.\)

Từ đó suy ra 2 tiếp tuyến là \(y=x+1;y=x+5\)

Đồ thị © có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y=2.Giao điểm của hai tiệm cận là I(1;2)
Gọi $M(x_0;\frac{2x_0-3}{x_0-1})\in \copyright$
Tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị © tại M có phương trình
y=$\frac{1}{(x_0-1{)}^2}(x-x_0)+\frac{2x_0-3}{x_0-1}$
Giao điểm của $\Delta$ với hai tiệm cận của đồ thị © là $A(1;\frac{2x_0-4}{x_0-1})vàB(2x_0-1;2)$
ta có:IA=$|\frac{2x_0-4}{x_0-1}-2|=\frac{2}{|x_0-1|}$
IB=$2|x_0-1|$
Do đó diện tích $△IAB$ là: S=$\frac{1}{2}IAIB=2$
Gọi $p$ là nửa chu vi $△IAB$.Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp $△IAB$ là $r=\frac{S}{p}$=$\frac{2}{p}$
$r$ lớn nhất khi $p$ nhỏ nhất
mặt khác,ta có :$2p=IA+IB+AB=IA+IB+\sqrt{I{A}^2+I{B}^2}\ge 2\sqrt{IAIB}+\sqrt{2IAIB}=4+2\sqrt{2}$
Suy ra: $p_{min}=2+\sqrt{2}$,dấu bằng xẩy ra $\iff IA=IB\iff \frac{2}{|x_0-1|}=2|x_0-1|\iff [\begin{array}{c}{x}_0=0\\ x_0=2\end{array}$
với $x_0=0$,phương trình tiếp tuyến cần tìm là ${\Delta }_1$:y=x+3
với $x_0=2$,phương trình tiếp tuyến cần tìm là ${\Delta }_2$:y=x-1

+ Đồ thi hàm số đã cho co TCĐ là : x= -1 và TCN là y= 1; tâm đối xứng- giao của 2 đườg tiệm cận có tọa độ là I ( -1; 1)

 Gọi  M x 0 ; x 0 - 2 x 0 + 1 ∈ C ,   x 0 ≠ - 1 ,   I ( - 1 ; 1 )

+  Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng

+ Giao điểm của ∆   với tiệm cận đứng là  A - 1 ; x 0 - 5 x 0 + 1

+ Giao điểm của  ∆   với tiệm cận ngang là  B( 2x₀+1; 1).

Ta có 

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là S=p.r, suy ra

Suy ra,

Chọn  D.

Đáp án B

Tinh chất: Tiếp tuyến bẩt kỳ của y = a x + b c x + d C  luôn tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.

Áp dụng ta lấy M ( 0 ; − 3 )  thuộc (C) (M bất kỳ) tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A − 1 ; y A , B x B ; 1  nhận điểm M là trung điểm

⇒ x B = 2 x M − x A = 1 y A = 2 y M − y B = − 7 ⇒ A − 1 ; − 7 , B 1 ; 1  

Giao hai tiệm cận I − 1 ; 1 ⇒ I A → = 0 ; − 8 , I B → = 2 ; 0 ⇒ S I A B = 1 2 . I A . I B = 8  

Xét : \(M\left(x_0;x_0+1+\frac{1}{x_0+1}\right)\)

Tiếp tuyến tại M có phương trình \(y=\left(1-m^2\right)x+m^2+2m+1\) (với \(m=\frac{1}{x_0-1}\))

tiếp tuyến cắt tiệm  cận đứng tại \(A\left(1;2m+2\right)\); cắt tiệm cận tại \(B\left(1+\frac{2}{m};2+\frac{2}{m}\right)\) và hai tiệm cận cắt nhau tại I(1;2)

Chu vi tam giác ABI : \(P=AB+BI+IA=\sqrt{4m^2+\frac{8}{m^2}+8}+\frac{2\sqrt{2}}{\left|m\right|}+2\left|m\right|\)

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi, ta có :

\(4m^2+\frac{8}{m^2}\ge8\sqrt{2};\frac{2\sqrt{2}}{\left|m\right|}+2\left|m\right|\ge4\sqrt[4]{2}\Rightarrow P\ge\sqrt{8\sqrt{2}+8}+4\sqrt[4]{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow m=\pm\sqrt[4]{2}\)

Vậy \(M\left(1\pm\frac{1}{\sqrt[4]{2}};2\pm\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\pm\sqrt[4]{2}\right)\)