\(P=x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^3=\dfrac{64}{3}\)

\(P_{min}=\dfrac{64}{3}\) khi \(x=y=z=\dfrac{4}{3}\)

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a+1;b+1;c+1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a;b;c\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c=1\)

\(P=\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2+\left(c+1\right)^2\)

\(P=a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)+3=a^2+b^2+c^2+5\le1+5=6\)

\(P_{max}=6\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;2\right)\) và hoán vị

Từ giả thiết suy ra

\(\left(x-1\right)\left(y-1\right)+\left(y-1\right)\left(z-1\right)+\left(z-1\right)\left(x-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)-3\)    (1)

Lại có  \(3x^2+4y^2+5z^2=52\)    

\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)=52+2x^2+y^2\ge52+2.1+1=55\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge11\)   (2)

Từ (1) và (2) ta có  \(\left(x+y+z\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\ge11+4\left(x+y+z\right)-6\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-4\left(x+y+z\right)-5\ge0\)

\(\Leftrightarrow P^2-4P-5\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(P+1\right)\left(P-5\right)\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge5\)

Vậy  \(P_{min}=5\)  \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\z=3\end{cases}}\)

phải là tìm max chứ

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(A^2=(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})^2=(\sqrt{x}\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}\sqrt{xy-y})^2\)

\(\leq (x+y)(xy-x+xy-y)=(x+y)(2xy-x-y)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\((x+y)(2xy-x-y)\leq \left (\frac{x+y+2xy-x-y}{2}\right)^2=(xy)^2\)

Do đó, \(A^2\leq (xy)^2\Leftrightarrow A\leq xy\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)

Áp dụng bđt Cauchy : \(\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\Rightarrow x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}\)

\(\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow y\sqrt{x-1}\le\frac{xy}{2}\)

Cộng hai BĐT trên theo vế ta có đpcm

cảm ơn nhiều nha

Áp dụng Bđt cô si ta có:

\(xy=\left(x-1\right)y+y\ge2\sqrt{\left(x-1\right)y^2}=2y\sqrt{x-1}\left(1\right)\)

Tương tự:

\(xy=\left(y-1\right)x+x\ge2x\sqrt{y-1}\left(2\right)\)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:

\(2xy\ge2\sqrt{x-1}+2x\sqrt{y-1}\)

\(\Leftrightarrow xy\ge x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\)

ĐPcm

\(x.1.\sqrt{y-1}+y.1.\sqrt{x-1}\le\frac{x}{2}\left(1+y-1\right)+\frac{y}{2}\left(1+x-1\right)=xy\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

$(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})^2=(\sqrt{x}.\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}.\sqrt{yx-y})^2$

$\leq (x+y)(xy-x+xy-y)\leq \left(\frac{x+y+xy-x+xy-y}{2}\right)^2=(xy)^2$

$\Rightarrow x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=2$

Lời giải:
ĐK phải là $x,y>1$. Nếu $x,y=1$ thì vi phạm ĐKXĐ rồi bạn nhé.

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:

\(\frac{x}{\sqrt{y}-1}+4(\sqrt{y}-1)\geq 4\sqrt{x}\)

\(\frac{y}{\sqrt{x}-1}+4(\sqrt{x}-1)\geq 4\sqrt{y}\)

Cộng theo vế và rút gọn ta có:

\(A\geq 8\)

Vậy GTNN của $A$ là $8$. Dấu "=' xảy ra khi $x=y=4$